Enunciado

Se f for a função cujo gráfico está mostrado, seja h x = f ( f x ) e g x = f ( x 2 ) . Use o gráfico de f para estimar o valor de cada uma das derivadas.

  1. h ' ( 2 )
  2. g ' 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte gráfico de f x :

O enunciado ainda nos dá duas funções:

h x = f ( f x )

E

g x = f ( x 2 )

Com base nesse gráfico, queremos encontrar as seguintes derivadas em seus respectivos pontos:

h ' ( 2 ) e g ' 2

Perceba que tanto a função h x , quanto a função g x são funções compostas, pois temos uma função dentro da outra. Sendo assim, para resolver essa questão podemos apenas pegar a definição da regra da cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

E sua derivada será dada pela relação

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Ou seja, a derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

  1. Assim, como queremos h ' ( 2 ) , ou seja, a derivada de h no ponto 2 , é só substituir esse valor na expressão:
  2. h ' 2 = f ' f 2 . f ' 2

    Vamos olhar no gráfico o valor de f ( 2 ) , assim achamos que:

    h ' 2 = f ' f 2 . f ' 2

    Veja que no ponto x = 2 a função assume valor igual a 1 . Então podemos escrever:

    h ' 2 = f ' 1 . f ' ( 2 )

    Passo 3

    Agora para achar as derivadas nos pontos pedidos vamos ter que achar dois pontos que engoblem o valor pedido que sejam lineares de cada função, vamos lá:

    Para f ' ( 1 ) temos os pontos 0,5   ,   2,7 e 1,2   ,   2 , assim, temos que a inclinação é:

    2 - 2,7 1,2 - 0,5 = - 0,7 0,7 = - 1

    Para f ' ( 2 ) temos os pontos 1,4   ,   1,6 e 2,2   ,   0,8 , assim, temos que a inclinação é:

    0,8 - 1,6 2,2 - 1,4 = - 0,8 0,8 = - 1

    Agora é só substituir de volta:

    h ' 2 = f ' 1 . f ' 2 ∴

    h ' 2 = - 1 . - 1 ∴

    h ' 2 = 1

    Passo 4

  3. Assim, como queremos g ' ( 2 ) , ou seja, a derivada de g no ponto 2 , é só substituir esse valor na expressão:

g ' 2 = f ' x 2 . x 2 '

Derivando a parte final, ficamos com:

g ' 2 = f ' x 2 . 2 x

E substituindo o x por 2 , temos:

g ' 2 = f ' 2 2 . 2.2 ∴

g ' 2 = 4 f ' 4

Passo 3

Para f ' ( 4 ) temos os pontos 3,7   , 1,7   e 4,1 ,   2,3   , assim, temos que a inclinação é:

2,3 - 1,7 4,1 - 3,7 = 0,6 0,4 = 1,5

Agora é só substituir de volta:

g ' 2 = 4 f ' 4 ∴

g ' 2 = 4.1,5 ∴

g ' 2 = 6

E prontinho, tudo calculado.

Resposta

  1. h ' 2 = 1
  2. g ' 2 = 6
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Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada. f x = x 2 + 1
Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada. F x = x 2 x - 5 x
Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada. h y = 2 y 3 + 5 3