Enunciado

61. Demonstre que o cosseno é uma função contínua.

Passo 1

Falaaaa... belezinha??

Nessa questão vamos demonstrar que a função cosseno

f x = cos ⁡ x

é uma função contínua.

Pra isso vamos lembrar que pra uma função f x ser contínua em um ponto a , ela precisa de três coisinhas:

1. f a está definida (o valor da função em a existe e pra isso vamos usar o conceito de domínio da função)

2. lim x → a ⁡ f x deve existir (aqui vamos analisar os limites laterais e eles devem ser iguais pro limite existir)

3. lim x → a ⁡ f x = f a (aqui o valor do limite deve ser igual ao valor da função naquele ponto)

E se mostrarmos que a pode ser qualquer número, então a função será contínua.

Passo 2

Primeiro vemos o domínio da função cosseno. Bom... lembra que cosseno é aquela função minhoca? Podemos usar qualquer valor de x que ela vai existir.

Então a função cosseno tem o domínio igual ao conjunto dos números reais.

Portanto, o valor de cos ⁡ a está definido para todos os números reais a , pois o cosseno é uma função bem definida para todos os reais.

Passo 3

Agora analisar os limites de quando x se aproxima de a pela esquerda e pela direita.

- Pela esquerda:

lim x → a - ⁡ cos ⁡ x = cos ⁡ a

- Pela direita:

lim x → a + ⁡ cos ⁡ x = cos ⁡ a

Como os limites laterais são iguais, então lim x → a ⁡ cos ⁡ x existe e é igual a cos ⁡ a .

Passo 4

Por último verificamos se o limite é igual ao valor da função.

Temos que:

lim x → a ⁡ cos ⁡ x = cos ⁡ a

E da função:

f a = cos ⁡ a

Portanto, o limite de x tendendo a a é igual ao valor da função quando x é igual a a .

Como todos os critérios de continuidade são atendidos, então a função cosseno é contínua.

Resposta

Demonstração

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