Enunciado

80. Esboce as parábolas y = x 2   e y = x 2 - 2 x + 2 . Você acha que existe uma reta que seja tangente a ambas as curvas? Em caso afirmativo, encontre sua equação. Em caso negativo, explique por que não.

Passo 1

E aí! como vai? 😉

Foram dada as parábolas y = x 2 e y = x 2 - 2 x + 2 . Queremos saber se existe uma reta tangente às duas parábolas dadas.

Seja ( x 1   ,   y 1 ) o ponto de tangência da reta com a parábola y = x 2         e ( x 2   ,   y 2 ) o ponto de tangência da mesma reta, que passa por ( x 1   ,   y 1 ) , com a parábola y = x 2 - 2 x + 2   .

Veja só! 😊

Passo 2

Seja m a inclinação de tal reta. Sabe-se que

m = y ' x 1   ,   y 1 = 2 x 1     I

E tambem que

m = y ' x 2   ,   y 2 = 2 x 2 - 2     ( I I )

Sabe-se que, pela Geometria Analítica, a inclinação da reta pode ser dada por m =   y 2 - y 1 x 2 - x 1   , sendo que y 1 = x 1 2         e y 2 = x 2 2 - 2 x 2 + 2 .

Então, substituindo y 1 e y 2 na expressão de m teremos:

m = x 2 2 - 2 x 2 + 2 - x 1 2         x 2 - x 1     I I I

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Podemos fazer as seguintes igualdades:

I = I I I   :       2 x 1 = x 2 2 - 2 x 2 + 2 - x 1 2 x 2 - x 1

2 x 1 x 2 - x 2 2 + x 1 2 = - 2 x 2 + 2       ( I V )

E também

I I = I I I     :     2 x 2 - 2 =     x 2 2 - 2 x 2 + 2 - x 1 2 x 2 - x 1

2 x 1 x 2 - x 2 2 + x 1 2 = 2 x 1 - 2     ( V )

Igualando o lado direito da equação resultante ( I V ) com o lado direito da equação resultante V . Temos que:

- 2 x 2 + 2 = 2 x 1 - 2     →   x 1 + x 2 = 2

Também da igualdade da equações ( I ) e ( I I ) teremos:

I = I I   :     2 x 1 =   2 x 2 - 2   →   x 1 - x 2 = - 1

Formamos então um sistema com as duas últimas equações obtidas:

x 1 + x 2 = 2 x 1 - x 2 = - 1

somando as duas equações do sistema temos 2 x 1 = 1   →   x 1 = 1 2 e, logo, x 2 = 3 2 .

bacana, não é? 😎

Passo 4

Então, a equação da reta seria:

y - y 1 =   y 2 - y 1 x 2 - x 1   ( x - x 1 )

Onde

y 1 = x 1 2     =     1 2   2

y 1 = 1 4

E

y 2 = x 2 2 - 2 x 2 + 2 =   3 2   2 - 2   3 2   + 2

y 2 = 5 4

Ou seja

y - y 1 =   y 2 - y 1 x 2 - x 1   x - x 1

y - 1 4 =   5 4 - 1 4 3 2 - 1 2   x - 1 2

y - 1 4 =   1 1   x - 1 2

Simplificando...

y = x - 1 4

Esboço:

Observação: o ponto verde é o ponto de tangência da reta com a parábola y = x 2   e o ponto laranja é o ponto de tangência da mesma reta com a parábola y = x 2 - 2 x + 2 .

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

y = x - 1 4

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32. Ache a taxa de variação instantânea da inclinação da reta tangente ao gráfico y = 2 x 3 - 6 x 2 - x + 1 no ponto ( 3 , - 2 ) .
20 .A c h ef 5 xs ef x = cos ⁡ 2 x - s e n ( 2 x )
31. Ache a inclinação da reta tangente em cada ponto do gráfico de y = x 4 + x 3 - 3 x 2 , onde a taxa de variação da inclinação é zero.
37. Ache uma equação da reta tangente à curva y = x 3 - 4 no ponto (2,4).
40. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 8 x 2 + 4 no ponto (2,1).