Enunciado

Se f   for a função do Exercício 14, encontre f e f ' ' e use seus gráficos para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento e de concavidade de f .

Passo 1

A função que o Exercício 14 nos dá é

f x = 2 x + 3 2 x - 2 5 x 3 x - 5 2

Primeiro vamos encontrar as derivadas da nossa função:

f ' x = 2 x - 2 4 2 x + 3 2 x 3 - 14 x 2 - 10 x - 45 x 4 x - 5 3

f ' ' x = 2 x - 2 3 4 x 6 - 56 x 5 + 216 x 4 + 460 x 3 + 805 x 2 + 1710 x + 5400 x 5 x - 5 4

Passo 2

Estimando um gráfico de f ' :

Pelo Exercício 14 e pelo gráfico acima, sabemos que f ' tem seus zeros, ou seja, seus pontos extremos, em - 1.5 ,   2 ,   e 7.98 . Pelo gráfico de f ' , concluímos que f está decrescendo em ( - ∞ ,   - 1.5 ) , crescendo em ( - 1.5 ,   0 ) e em ( 0,5 ) , decrescendo novamente em ( 5 ,   7.98 ) , e finaliza crescendo em ( 7.98 ,   ∞ ) .

Passo 3

Estimando um gráfico de f ' ' :

Por esse gráfico, vemos que x = 2 é o número que zera f ' ' ( x ) , e ele mostra que x = 2 é o único zero de f ' ' . Assim, f é côncava para cima ( - ∞ ,   0 ) , côncava para baixo em ( 0,2 ) , côncava para baixo em ( 2,5 ) , e côncava para cima, novamente, em ( 5 ,   ∞ ) . Vemos que há uma assíntota em x = 0 e em x = 5 , e encontramos as concavidades analisando os pontos em que f ' ' é positiva ou negativa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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