Enunciado

Suponha que F , G e Q sejam polinômios e

F x Q x = G x Q x

para todo x , exceto quando Q x = 0 . Determine que F x = G x para todo x . (Sugestão: Use a continuidade.)

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e teremos que provar que F ( x ) = G ( x ) na situação dada.

Suponha que x 0 seja um numero real tal que Q ( x 0 ) ≠ 0 . Enquanto nós podemos multiplicar:

F x 0 Q ( x 0 ) = G ( x 0 ) Q ( x 0 )

Pelo não numero não zero Q ( x 0 ) para obter F x 0 = G x 0 . Agora iremos supor que x 1 é um numero real tal que Q x 1 = 0 . Desde que F e G são polinômios, eles são contínuos, então:

lim x → x 1 ⁡ F ( x ) = F ( x 1 )

lim x → x 1 ⁡ G ( x ) = G ( x 1 )

Passo 2

Basta provar que as funções F e G têm o mesmo limite quando x se aproxima de x igual a 1. Lembre-se de que a adição (e, portanto, a subtração) de funções comuta com a tomada de limites, então

lim x → x 1 ⁡ F x - lim x → x 1 ⁡ G x = lim x → x 1 ⁡ F x - G x

Uma vez que Q tem apenas um número finito de raízes, podemos escolher intervalos abertos x 2 , x 1 e x 1 , x 3 que não contenham nenhuma raiz de Q . Além disso, ( F x - G x = 0 ) para todos os x em x 2 , x 1 ou x 1 , x 3 . Portanto,

lim x → x 1 ⁡ F x - G x = 0

Isso prova que F x = G x para todo x pertencente aos números reais.

Resposta

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