Enunciado

Se H for a função de Heaviside definida no Exemplo 6 da seção 2.2, demonstre, usando a Definição 2, que não existe lim t → 0 ⁡ H ( t ) .

[Sugestão: Use uma demonstração indireta: suponha que o limite seja L . Tome ϵ = 1 / 2 na definição de limite e tente chegar em uma contradição.]

Passo 1

Olá, meu amigo, Yuri aqui e irei te ajudar a resolver essa atividade de limites.

Queremos provar que o limite lim t → 0 ⁡ H ( t ) não existe onde H é a função de Heaviside, definida por

H t = 0 ,     x < 0 1 ,     x ≥ 0

Vemos que a função tem um “salto” em t = 0 , então realmente é intuitivo pensar que o limite não existe, mas devemos provar isso rigorosamente usando a definição 2, que é a definição de limite, que diz que lim t → a ⁡ f ( t ) = L se, e somente se, para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que se

0 < t - a < δ

então

f t - L < ϵ .

Eu sei que você deve estar achando isso extremamente complicado e esquisito, mas basicamente, o que a definição diz é que para qualquer número positivo ϵ eu devo conseguir encontrar um δ (que possivelmente será função de ϵ ) tal que

0 < t - a < δ   ⇒ f t - L < ϵ .

Neste caso, queremos provar que o limite não existe, então basta achar um ϵ tal que eu não consiga achar um δ que satisfaça a condição: é exatamente isso que a sugestão dada no enunciado diz!!!

Vamos supor que o limite existe e vale L e tomar um ϵ = 1 / 2 : quando formos tentar encontrar o δ vamos chegar numa contradição. Assim, nossa hipótese inicial que o limite existia e valia L estava errada, e provaremos assim que o limite não existe.

Passo 2

Antes de qualquer coisa, vamos adaptar a definição de limite para o nosso caso. Para provar que o limite existe e vale L , para todo ϵ > 0 , devo conseguir encontrar um δ > 0 tal que

0 < t - 0 < δ ⇒ H t - L < ϵ

Bom, agora vamos usar a sugestão: supondo que o limite existe e vale L , a relação descrita acima teria que valer sempre. Se ela deveria valer para todo ϵ , em particular, ela deve valer para ϵ = 1 / 2 . Assim, deveria ser possível encontrar um δ > 0 tal que

0 < t < δ ⇒ H t - L < 1 2

Se H t - L < 1 / 2 , então

- 1 2 < H t - L < 1 2

- 1 2 + L < H t < 1 2 + L

Passo 3

Então, pela nossa hipótese de que o limite existe e vale L , deve existir um δ > 0 tal que

0 < t < δ ⇒ - 1 2 + L < H t < 1 2 + L

Para 0 < t < δ , temos que H t = 1 , de modo que

1 < 1 2 + L ⇒ L > 1 2

Por outro lado, para - δ < t < 0 , H t = 0 , assim

- 1 2 + L < 0 ⇒ L < 1 2

Repare que chegamos numa contradição: como L pode ser maior que 1 / 2 e menor que 1 / 2 ao mesmo tempo?

Assim, vemos que é impossível achar um L tal que para todo ϵ valha a relação que define o limite pois para um ϵ particular ela não valeu!!!

Veja que provar que uma coisa não é verdade é mais fácil que provar que ela é verdadeira: basta achar um contraexemplo!!!

Resposta

Demonstração.

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