Enunciado

  1. Se f for uma função polinomial e f ( a ) , f ( b ) , f ' ( a ) e f ' ( b ) forem nulos, prove que existem pelo menos dois números no intervalo aberto ( a ,   b ) que sejam raízes da equação f ' ' x = 0 .
  2. Mostre que a função definida pela equação f x = x 2 - 4 2 satisfaz a) para o intervalo aberto ( - 2 ,   2 ) .

Passo 1

Como, por hipótese, f é polinomial, então ela   é de classe C n , ou seja, a função f é derivável n vezes. Em particular, f é duas vezes derivável no intervalo ( a ,   b ) .

Passo 2

Observe que, por hipótese, f a = f b = 0 . Então, pelo teorema de Rolle, existe c ∈ ( a ,   b ) tal que f ' c = 0 .

Passo 3

Assim, do passo anterior e da hipótese, temos que f ' a = f ' c = 0 . Logo f ' satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle. Assim existe d ∈ ( a ,   c ) tal que f ' ' d = 0 . E como f ' c = f ' b = 0 , temos que existe e ∈ ( c ,   b ) tal que f ' ' e = 0

Portanto, existem, pelos menos d , e ∈ ( a ,   b ) tais que f ' ' d = f ' ' ( e ) = 0 , como queríamos mostrar.

Passo 4

Seja f x = x 2 - 4 2 restrita ao intervalo ( - 2 ,   2 ) . Observe que:

f - 2 = - 2 2 - 4 2 ⇒

f - 2 = 4 - 4 2 ⇒

f - 2 = 0 2 ⇒

f - 2 = 0

E também:

f 2 = 2 2 - 4 2 ⇒

f 2 = 4 - 4 2 ⇒

f 2 = 0 2 ⇒

f 2 = 0

Ou seja, f - 2 = f 2 = 0 .

Passo 5

Vamos observar o comportamento de f ' no intervalo dado. Pelas regras de derivação temos:

f ' x = 2 x 2 - 4 . 2 x ⇒

f ' x = 4 x x 2 - 4

Observe que:

f ' - 2 = 4 ( - 2 ) - 2 2 - 4 ⇒

f ' - 2 = - 8 4 - 4 ⇒

f ' - 2 = - 8 0 ⇒

f ' - 2 = 0

E também:

f ' 2 = 4.2 2 2 - 4 ⇒

f ' 2 = 8 4 - 4 ⇒

f ' 2 = 8 0 ⇒

f ' 2 = 0

Assim, f ' - 2 = f ' 2 = 0 . Portanto f satisfaz as hipóteses do item a).

Passo 6

Da definição de derivada de ordem superior temos:

f ' ' x = f ' x ' ⇒

f ' ' x = 4 x 2 - 4 + 4 x . 2 x ⇒

f ' ' x = 4 x 2 - 16 + 8 x 2

f ' ' x = 12 x 2 - 16

Se f ' ' x = 0 temos:

12 x 2 - 16 = 0 ⇒

12 x 2 = 16 ⇒

x 2 = 16 12 ⇒

x 2 = 4 3 ⇒

x = ± 4 3 ⇒

x = ± 2 3 ⇒

x = ± 2 3 3

Observe que x = 2 3 3 ≅   1,1547 e x = - 2 3 3 ≅ -   1,1547 e ambos os valores estão no intervalo ( - 2 ,   2 ) . Portanto existem dois valores no intervalo aberto ( - 2 ,   2 ) tais que f ' ' x = 0 , como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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