Enunciado

Use as informações a seguir para fazer o gráfico da função y = f x para - 1 ≤ x ≤ 6

i ) O gráfico de f é formado por segumentos de reta unidos pelas extremidades

i i ) o gráfico tem início no ponto - 1,2

i i i ) A derivada de f , onde é definida, correponde à função escada mostrada aqui:

Passo 1

Primeiramente, vamos entender como é sse gráfico. Ele disse o enunciado que são diversos segmentos de reta certo? O que vamos ter é uma reta que começa em - 1,2 e vai mudando sua inclinação de acordo com o gráfico que ele deu.

Então teremos uma equação de - 1 a 0 , depois de 0 a 1 , de 1 a 4 e pot fim de 4 a 6 .

Vamos escrever cada intervalo desse separadamente.

Passo 2

Começando com - 1 ≤ x ≤ 0

A equação da reta é

y = a 1 x + b 1

A derivada dela vai ser

y ' = a 1

Pelo gráfico da derivada, teremos:

a 1 = - 2

E a equação da reta fica:

y = - 2 x + b

Dessa forma, usando o ponto - 1,2 , vamos ter

2 = - 2 - 1 + b

2 = 2 + b

b = 0

A reta fica:

y = - 2 x

E ela vai terminar no ponto onde x = 0 , que vai ser:

y = - 2 0 = 0

ou seja, no ponto 0,0

Passo 3

Agora para com 0 ≤ x ≤ 1

A equação da reta é

y = a 2 x + b 2

A derivada dela vai ser

y ' = a 2

Pelo gráfico da derivada, teremos:

a 2 = 0

E a equação da reta fica:

y = 0 x + b

y = b

A reta vai começar onde a anterior terminou, em 0,0 , destsa forma vamos ter:

0 = b

b = 0

A reta fica:

y = 0

E ela vai terminar no ponto onde x = 1 , que vai ser:

y = 0

ou seja, no ponto 1,0

Passo 4

Agora para com 1 ≤ x ≤ 4

A equação da reta é

y = a 3 x + b 3

A derivada dela vai ser

y ' = a 3

Pelo gráfico da derivada, teremos:

a 3 = 1

E a equação da reta fica:

y = x + b

A reta vai começar onde a anterior terminou, em 1 , 0 , destsa forma vamos ter:

0 = 1 + b

b = - 1

A reta fica:

y = x - 1

E ela vai terminar no ponto onde x = 4 , que vai ser:

y = 4 - 1 = 3

ou seja, no ponto 4 , 3

Passo 5

Terminando com com 4 ≤ x ≤ 6

A equação da reta é

y = a 4 x + b 4

A derivada dela vai ser

y ' = a 4

Pelo gráfico da derivada, teremos:

a 4 = - 1

E a equação da reta fica:

y = - x + b

A reta vai começar onde a anterior terminou, em 4,3 , destsa forma vamos ter:

3 = - 4 + b

b = 7

A reta fica:

y = - x + 7

E ela vai terminar no ponto onde x = 6 , que vai ser:

y = - 6 + 7 = 1

ou seja, no ponto 6,1

Passo 6

A nossa função vai ficar:

y = - 2 x

y = 0

y = x - 1

y = - x + 7

f x = - 2 x s e - 1 ≤ x < 0 0 s e 0 ≤ x < 1 x - 1 s e 1 ≤ x < 4 - x + 7 s e 4 ≤ x ≤ 6  

O gráfico vai ser retas que ligam os pontos na seguinte ordem:

- 1,2 → 0,0 → 1,0 → 4,3 → 6,1

O gráfico vai ficar:

Resposta

f x = - 2 x s e - 1 ≤ x < 0 0 s e 0 ≤ x < 1 x - 1 s e 1 ≤ x < 4 - x + 7 s e 4 ≤ x ≤ 6  

- 1,2 → 0,0 → 1,0 → 4,3 → 6,1

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