Enunciado

Se f e g forem duas funções tal que f ∘ g x = x e g ∘ f x , então f e g serão funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas

f x = x 2 ,   x ≥ 0

g x = x

Passo 1

O nosso método pra solucionar esse tipo de questão vai ser bem simples. O problema quer que mostremos que as duas funções são inversas entre si e pra provar isso ele nos dá uma alternativa show de bola, vamos nos aproveitar dela:

  1. Fazer f g x e chegar que isso é realmente igual a x .
  2. Fazer g f x e ver que isso também é igual a x .

Daí teremos mostrado que ambas são funções inversas!

Passo 2

Essa é bem tranquila de perceber, né? Já que tirar a raiz quadrada e elevar um número ao quadrado são operações inversas por definição, mas vamos mostrar no papel. Fazedo f g x :

f x = x 2

Reescrevendo a raiz:

x 1 2 2

Agora multiplicando os expoentes:

x 1 2 ∙ 2 = x 2 2 = x

Agora é só mostrar para a outra função composta.

Passo 3

g f x fica então:

g x 2 = x 2 = x

Maaas tem um detalhe! Perceba que o domínio da nossa função é apenas para valores não negativos, então esse módulo fica:

x = x

Mostradíssimo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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