Enunciado

Se f e g forem as funções cujos gráficos estão mostrados, seja u x = f ( g x ) , v x = g ( f x ) e w x = g ( g x ) . Encontre cada derivada, se ela existir. Se não existir, explique por quê.

  1. u ' 1
  2. v ' 1
  3. w ' 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte gráfico:

Além disso, o enunciado também nos dá as seguintes funções compostas:

u x = f ( g x ) , v x = g ( f x ) e w x = g ( g x )

Queremos encontrar cada derivada abaixo (se existirem):

  1. u ' 1
  2. v ' 1
  3. w ' 1

Para resolver essa questão podemos apenas pegar a definição da regra da cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

  1. Assim, como queremos u ' ( 1 ) , ou seja, a derivada de u no ponto 1 , é só substituir esse valor na expressão:
  2. u ' 1 = f ' g 1 . g ' 1

    Vamos olhar no gráfico o valor de g ( 1 ) , assim achamos que:

    u ' 1 = f ' g 1 . g ' 1 ∴

    u ' 1 = f ' 3 . g ' ( 1 )

    Agora para achar as derivadas nos pontos pedidos vamos ter que achar dois pontos que engoblem o valor pedido que sejam lineares de cada função, vamos lá:

    Para f ' ( 3 ) temos os pontos 2,4 e 6,3 , assim, temos que a inclinação é:

    3 - 4 6 - 2 = - 1 4

    Para g ' ( 1 ) temos os pontos 0,6 e 2,0 , assim, temos que a inclinação é:

    0 - 6 2 - 0 = - 6 2 = - 3

    Agora é só substituir de volta:

    u ' 1 = f ' 3 . g ' 1 ∴

    u ' 1 = - 1 4 . - 3 ∴

    u ' 1 = 3 4

    Passo 3

  3. Assim, como queremos v ' ( 1 ) , ou seja, a derivada de v no ponto 1 , é só substituir esse valor na expressão:
  4. v ' 1 = g ' f 1 . f ' 1

    Vamos olhar no gráfico o valor de f ( 1 ) , assim achamos que:

    v ' 1 = g ' f 1 . f ' 1 ∴

    v ' 1 = g ' 2 . f ' ( 1 )

    Entretando g ' ( 2 ) não existe, pois ao olharmos o gráfico vemos que g 2 = 0 , assim, v ' ( 1 ) não existe.

    Passo 4

  5. Assim, como queremos w ' ( 1 ) , ou seja, a derivada de w no ponto 1 , é só substituir esse valor na expressão:

w ' 1 = g ' g 1 . g ' 1

Vamos olhar no gráfico o valor de g ( 1 ) , assim achamos que:

w ' 1 = g ' g 1 . g ' 1 ∴

w ' 1 = g ' 3 . g ' ( 1 )

Agora para achar as derivadas nos pontos pedidos vamos ter que achar dois pontos que engoblem o valor pedido que sejam lineares de cada função, vamos lá:

Para g ' ( 3 ) temos os pontos 2,0 e 5,2 , assim, temos que a inclinação é:

2 - 0 5 - 2 = 2 3

Para g ' ( 1 ) já calculamos no passo 2 , assim g ' 1 = - 3 .

Agora é só substituir de volta:

w ' 1 = g ' 3 . g ' 1 ∴

w ' 1 = 2 3 . - 3 ∴

w ' 1 = - 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

  1. u ' 1 = 3 4
  2. g ' 2 não existe
  3. w ' 1 = - 2
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