Enunciado

A fórmula

κ x = f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 / 2

deduzida do Exercício 5, expressa a curvatura κ ( x ) de uma curva plana duas vezes diferenciável y = f ( x ) como uma função de x . Encontre a função de curvatura de cada uma das curvas nos Exercícios 23-26. Em seguida, desenhe f ( x ) com κ ( x ) sobre o intervalo dado. Você encontrará algumas surpresas.

25. y = sen ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No problema dado, temos que

f x = sen ⁡ x

Diferenciando os termos,

f ' x = cos ⁡ x

Ok, vamos usar a derivada novamente

f ' ' x = - sen ⁡ x

Passo 2

Substituindo as expressões para f ' ( x ) e f ' ' ( x ) na fórmula

κ x = f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 / 2

Trocando os termos já conhecidos

κ x = - sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2 3 2 = sen ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x 3 2

No gráfico temos a seguinte configuração

Resposta

κ x = sen ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x 3 2

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Mostre que a curvatura de uma curva plana descrita por σ t = x t , y t é k t = x ' t y ' ' t - y ' t x ' ' ( t ) x ' t 2 + y ' t 2 3 2 Observe que esta equação se reduz à equação (1.13) quando a curva
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