Enunciado

A fórmula

κ x = f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 / 2

deduzida do Exercício 5, expressa a curvatura κ ( x ) de uma curva plana duas vezes diferenciável y = f ( x ) como uma função de x . Encontre a função de curvatura de cada uma das curvas nos Exercícios 23-26. Em seguida, desenhe f ( x ) com κ ( x ) sobre o intervalo dado. Você encontrará algumas surpresas.

23. y = x 2 ,   - 2 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No problema dado, temos que

f x = x 2

Diferenciando os termos,

f ' x = 2 x

Ok, vamos usar a derivada novamente

f ' ' x = 2

Passo 2

Substituindo as expressões para f ' ( x ) e f ' ' ( x ) na fórmula

κ x = f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 / 2

Trocando os termos já conhecidos

κ x = 2 1 + f ' x 2 3 2 = 2 1 + 4 x 2 3 2

No gráfico temos a seguinte configuração

κ ( x ) é representada pela linha azul!

Resposta

κ x = 2 1 + 4 x 2 3 2

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a curvatura máxima da curva y = ln ⁡ x é 2 3 3 , a qual ocorre no ponto 2 2 ,- 1 2 ln ⁡ 2 .
Determine o raio de curvatura das seguintes curvas no espaço: bσ t = e t ,e - t , 2 t .
Seja σ t = 2 t - 2 s e n t ,2 - 2 cos ⁡ t,0 ≤ t ≤ 2 π (ver o exemplo 1.5 ). Mostre que a curvatura é mínima no ponto mais alto da curva, e máxima no ponto mais baixo. Encontre os pontos de velocidade
Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto P dado. Trace um esboço da curva e o círculo de curvatura. dσ t = 2 e t ,2 e - t ; P = 2 ,2
Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto P dado. Trace um esboço da curva e o círculo de curvatura. fσ t = 1 + 2 ln ⁡ t ,1 + t 2 ; P = 1 ,2