Enunciado

A função V x = x 10 - 2 x 16 - 2 x ,       0 < x < 5 ,   modela o volume de uma caixa.

  1. Determine os valores extremos de V.
  2. Interprete quaisquer valores encontrados o item (a) em termos do volume da caixa.

Passo 1

Solucionando o item a:

Para achar valores extremos, usaremos a derivada da função e a igualaremos a 0.

V x = 10 x - 2 x 2 16 - 2 x = 160 x - 20 x 2 - 32 x 2 + 4 x 3

V ' x = 12 x 2 - 104 x + 160

Igualando V ' x = 0 , teremos:

12 x 2 - 104 x + 160 = 0

Δ = 3136

- - 104 ± 3136 2 × 12

x 1 ≈ 6,67       x 2 = 2

Como x só está definido de 0 a 5, desconsideraremos x 1 ≈ 6,67 . Logo o nosso valor máximo é x 2 = 2 .

Passo 2

Solucionando o item b:

Uma vez que a função V ( x ) determina o volume de uma caixa, tendo o valor máximo que x pode assumir, determinaremos o volume máximo da caixa.

V 2 = 2 10 - 4 16 - 4 = 144   u n i d a d e s   c ú b i c a s

Resposta

a )   x = 2

b )   V 2 = 144   u n i d a d e s   c ú b i c a s

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