Enunciado

Um mínimo sem derivada

A função f x = x tem valor mínimo absoluto quando x = 0 , mesmo que f não seja derivável em x = 0 . Isso é consistente com o Teorema 2? Justifique sua resposta.

Passo 1

O teorema 2 diz que:

Se f possui um valor máximo ou mínimo local em um ponto c interior de seu

domínio e se f ' é definida em c , então

f ' c =   0

Mas que raios isso significa!?

Trocando em miúdos, diz que: a derivada de um ponto extremo de uma função é igual a 0 .

Passo 2

A função f x = | x | pode ser rescrita como f x =   x 2 visto que qualquer função da qual se tire raiz quadrada resulta em um valor positivo e um negativo.

Derivando, teremos:

f ' x = 1 2 x 2 × 2 x = 2 x 2 x 2 = x x 2

Voltando para a nossa função original, temos:

f ' x = x x

Ao tentarmos calcular o valor de y ' = 0 , chegamos a uma indeterminação do tipo 0 0 . Como mesmo um ponto indefinido pode ser um ponto crítico, a função f x = x é consistente com o teorema 2.

Resposta

Sim, é consistente com o teorema.

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