Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 46
(a) A função
corresponde ao gráfico da Figura 4. Mostre que e existem, mas não é diferenciável em . [Sugestão: Utilize o resultado do Exercício 45.]
(b) Explique por que e não são contínuas em .
Passo 1
(a) Para calcular as derivadas desta função, vamos ter que usar a definição, então
Repetindo o processo para
As derivadas parciais de em existem e são .
Passo 2
Se olharmos agora para o limite da função, quando
Se pegarmos o caminho
Se nos aproximarmos por
Como a função se aproxima com dois valores diferentes, o limite não existe. No exercício 45 achamos que se uma função é diferenciável, então ela é contínua, se não é contínua, então ela não é diferenciável, apesar de suas derivadas parciais existirem em todo o domínio.
Passo 3
(b) Podemos calcular e para valores diferentes de , como sendo
Para ser continua em temos que provar que o limite seja , como calculamos em (a)
Usando o caminho
Como o limite não existe, a função derivada é descontínua.
Podemos de maneira similar fazer com
Calculando o limite
Usando o caminho
O limite não existe e a função derivada é descontínua.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais