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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart - 14.4 - 46

(a) A função

corresponde ao gráfico da Figura 4. Mostre que f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 ) existem, mas f não é diferenciável em ( 0,0 ) . [Sugestão: Utilize o resultado do Exercício 45.]

(b) Explique por que f x e f y não são contínuas em ( 0,0 ) .

Passo 1

(a) Para calcular as derivadas desta função, vamos ter que usar a definição, então

f x x , y = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f ( x , y ) h

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f h , 0 - f ( 0,0 ) h = lim h → 0 ⁡ 0 h h 2 + 0 2 - 0 h

= lim h → 0 ⁡ 0 h = 0

Repetindo o processo para y

f y x , y = lim h → 0 ⁡ f x , y + h - f ( x , y ) h

f y 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0 , h - f ( 0,0 ) h = lim h → 0 ⁡ 0 h 0 2 + h 2 - 0 h

= lim h → 0 ⁡ 0 h = 0

As derivadas parciais de f em ( 0,0 ) existem e são 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se olharmos agora para o limite da função, quando x , y → ( 0,0 )

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y ) = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y x 2 + y 2

Se pegarmos o caminho y = 0

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y x 2 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x ⋅ 0 x 2 + 0 2 = lim x → 0 ⁡ 0 x 2 = 0

Se nos aproximarmos por y = x

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y x 2 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 + x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 2 x 2 = 1 2

Como a função se aproxima com dois valores diferentes, o limite não existe. No exercício 45 achamos que se uma função é diferenciável, então ela é contínua, se f não é contínua, então ela não é diferenciável, apesar de suas derivadas parciais existirem em todo o domínio.

Passo 3

(b) Podemos calcular f x e f y para valores diferentes de ( 0,0 ) , como sendo

f x x , y = y x 2 + y 2 - x y ( 2 x ) x 2 + y 2 2

= y 3 - y x 2 x 2 + y 2 2

Para ser continua em ( 0,0 ) temos que provar que o limite seja 0 , como calculamos em (a)

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x ( x , y ) = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ y 3 - y x 2 x 2 + y 2 2

Usando o caminho x = 0

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ y 3 - y x 2 x 2 + y 2 2 = lim y → 0 ⁡ y 3 - y ⋅ 0 2 0 2 + y 2 2 = lim y → 0 ⁡ y 3 y 2 2

= lim y → 0 ⁡ y 3 y 4 = lim y → 0 ⁡ 1 y = ∄

Como o limite não existe, a função derivada é descontínua.

Podemos de maneira similar fazer com f y

f y = x 3 - x y 2 x 2 + y 2 2

Calculando o limite

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f y ( x , y ) = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 - x y 2 x 2 + y 2 2

Usando o caminho y = 0

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 - x y 2 x 2 + y 2 2 = lim x → 0 ⁡ x 3 - x ⋅ 0 2 x 2 + 0 2 2 = lim x → 0 ⁡ x 3 x 4

= lim x → 0 ⁡ 1 x = ∄

O limite não existe e a função derivada é descontínua.

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