Enunciado

Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo.

x , y   1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,   y ≥ 0

Passo 1

Para resolvermos esse exercício iremos usar as definições estabelecidas no capítulo para curvas abertas, conexas por caminho e simplesmente conexos.

Passo 2

  1. Temos que o intervalo dado inclui os dois extremos, assim temos que o conjunto D é fechado.

Passo 3

  1. Como podemos ver pelo gráfico, o conjunto é como se fosse uma fatia, logo toda combinação de pontos dentro de D pode ser ligada por uma curva que está inteiramente dentro do conjunto.
  2. Passo 4

  3. Como D é conectado e não há nenhuma descontinuidade, temos que qualquer curva fechada em D conta com apenas pontos dentro do próprio conjunto, logo temos que D é simplesmente conexo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo. x , y0y3
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo. x , y1x2
Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral.
Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral.