Enunciado

Para a função custo (dada em dólares), encontre (a) o custo, o custo médio e o custo marginal a um nível de produção de 1000 unidades; (b) o nível de produção que vai minimizar o custo médio; e (c) o custo médio mínimo.

C x = 16.000 + 200 x + 4 x 3 / 2

Passo 1

(a) O custo para 1000 unidades é calculado diretamente a partir da função:

C 1000 = 16.000 + 200 1000 + 4 1000 3 / 2

≈ 16.000 + 200.000 + 31.622,78

⇒ C 1000 ≈ 247.622,78   d ó l a r e s

Passo 2

O custo médio é o custo por unidade. Dividimos então o custo C ( x ) pelo número x de unidades:

c x = C x x = 16.000 + 200 x + 4 x 3 / 2 x

Para x = 1000 , teremos:

c 1000 = C 1000 1000 ≈ 247.622,78 1000 ≈ 247,62   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

Passo 3

O custo marginal é calculado a partir da derivada do custo total. Derivando então, temos:

C x = 16.000 + 200 x + 4 x 3 / 2

⇒ C ' x = 200 + 4 3 2 x 1 / 2 = 200 + 6 x

Para x = 1000   u n i d a d e s , então:

C ' 1000 = 200 + 6 1000 ≈ 389,74   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

Passo 4

(b) Vamos derivar a função do custo médio e igualar a derivada a zero, para encontrar o valor de x para o qual ela é mínima. Temos:

c x = 16.000 + 200 x + 4 x 3 / 2 x = 16.000 x + 200 + 4 x 1 / 2

Derivando:

c ' x = - 25000 x 2 + 4 1 2 x - 1 / 2 = - 16.000 x 2 + 2 x

Igualando a zero:

c ' x = 0

⇒ - 16.000 x 2 + 2 x = 0

⇒ 16.000 x 2 = 2 x

⇒ x 2 x = 16.000 2

⇒ x 3 / 2   = 8.000

⇒ x = 8000 2 / 3 = 400   u n i d a d e s

Para garantir que esse é um ponto mínimo, devemos ter a segunda derivada positiva (concavidade para cima). Derivando c ' ( x ) , temos:

c ' ' x = - 16000 - 2 x 3 + 2 - 1 2 x - 3 / 2 = 32000 x 3 - 1 x 3 / 2

Para x = 400 :

c ' ' x = 32000 400 3 - 1 400 3 / 2 = 32.000 64.000.000 - 1 8.000

= 1 2000 - 1 8000 = 4 - 1 8000 = 3 8000

Como o valor é positivo, temos para x = 400 de fato um valor mínimo.

Passo 5

(c) Para achar o custo médio mínimo, calculamos c ( x ) para o valor x = 400 que acabamos de achar:

c x = 16.000 x + 200 + 4 x 1 / 2

c M Í N = c 400 = 16000 400 + 200 + 4 400 = 40 + 200 + 80

⇒ c M Í N = 320   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

Resposta

(a)

C 1000 = 247.622,78   d ó l a r e s

c 1000 = 247,62   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

C ' 1000 = 320   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

(b)

x = 400   u n i d a d e s

(c)

c M Í N = 320   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

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