Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação corretas até a sexta casa decimal.

tg ⁡ x = 1 - x 2

Passo 1

Queremos encontrar as raízes da função:

f x = tg ⁡ x - 1 - x 2

Usando o método de Newton, as aproximações são dadas pela fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Temos:

f x = tg ⁡ x - 1 - x 2

f ' x = sec 2 ⁡ x - 1 2 1 - x 2 - 2 x = sec 2 ⁡ x + x 1 - x 2

Então a fórmula fica:

x n + 1 = x n - tg ⁡ x n - 1 - x n 2 sec 2 ⁡ x n + x n 1 - x n 2

Agora basta escolher uma aproximação inicial adequada, e então aplicar a fórmula até os resultados não diferirem na sexta casa decimal.

Passo 2

Para escolher o valor inicial olhamos um esboço das funções tg ⁡ x e 1 - x 2 .

Há uma raíz entre 0 e 1, mas como a derivada da função não existe para x = 1 , não escolhemos esse valor. Vamos começar por x = 0,75 .

Passo 3

Então calculamos as próximas aproximações:

x 2 = 0,75 - tg ⁡ 0,75 - 1 - 0,75 2 sec 2 ⁡ 0,75 + 0,75 1 - 0,75 2 = 0.66000008

x 3 = 0.66000008 - tg ⁡ 0.66000008 - 1 - 0.66000008 2 sec 2 ⁡ 0.66000008 + 0.66000008 1 - 0.66000008 2 = 0.64998760

x 4 = 0.64998760 - tg ⁡ 0.64998760 - 1 - 0.64998760 2 sec 2 ⁡ 0.64998760 + 0.64998760 1 - 0.64998760 2 = 0.64988895

x 5 = 0.64988895 - tg ⁡ 0.64988895 - 1 - 0.64988895 2 sec 2 ⁡ 0.64988895 + 0.64988895 1 - 0.64988895 2 = 0.64988894

Como x 4 e x 5 não diferem na sexta casa decimal:

x = 0,649888

Resposta

x = 0,649888

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