Enunciado

Para a função custo (dada em dólares), encontre (a) o custo, o custo médio e o custo marginal a um nível de produção de 1000 unidades; (b) o nível de produção que vai minimizar o custo médio; e (c) o custo médio mínimo.

C x = 10.000 + 340 x - 0,3 x 2 + 0,0001 x 3

Passo 1

(a) O custo para 1000 unidades é calculado diretamente a partir da função:

C 1000 = 10.000 + 340 1000 - 0,3 1000 2 + 0,0001 1000 3

= 10.000 + 340.000 - 300.000 + 100.000

⇒ C 1000 = 150.000   d ó l a r e s

Passo 2

O custo médio é o custo por unidade. Dividimos então o custo C ( x ) pelo número x de unidades:

c x = C x x = 10.000 + 340 x - 0,3 x 2 + 0,0001 x 3 x

Para x = 1000 , teremos:

c 1000 = C 1000 1000 = 150.000 1000 = 150   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

Passo 3

O custo marginal é calculado a partir da derivada do custo total. Derivando então, temos:

C x = 10.000 + 340 x - 0,3 x 2 + 0,0001 x 3

⇒ C ' x = 340 - 0,6 x + 0,0003 x 2

Para x = 1000   u n i d a d e s , então:

C ' 1000 = 340 - 0,6 1000 + 0,0003 1000 2

= 340 - 600 + 300

⇒ C ' 1000 = 40   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

Passo 4

(b) Vamos derivar a função do custo médio e igualar a derivada a zero, para encontrar o valor de x para o qual ela é mínima. Temos:

c x = 10.000 + 340 x - 0,3 x 2 + 0,0001 x 3 x = 10.000 x + 340 - 0,3 x + 0,0001 x 2

Derivando:

c ' x = - 10000 x 2 - 0,3 + 0,0002 x

Igualando a zero:

c ' x = 0

⇒ - 10000 x 2 - 0,3 + 0,0002 x = 0

Utilizando uma calculadora gráfica, chegamos ao valor que satisfaz a equação:

x ≈ 1522   u n i d a d e s

Para garantir que esse é um ponto mínimo, devemos ter a segunda derivada positiva (concavidade para cima). Derivando c ' ( x ) , temos:

c ' ' x = - 10000 - 2 x 3 + 0,0002 = 20000 x 3 + 0,0002

Como o valor é positivo para qualquer x positivo, temos para x = 1522 de fato um valor mínimo.

Passo 5

(c) Para achar o custo médio mínimo, calculamos c ( x ) para o valor x = 1522 que acabamos de achar:

c x = 10.000 x + 340 - 0,3 x + 0,0001 x 2

c M Í N = c 1522 = 10000 1522 + 340 - 0,3 1522 + 0,0001 ( 1522 2 )

⇒ c M Í N = 121,62   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

Resposta

(a)

C 1000 = 150.000   d ó l a r e s

c 1000 = 150   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

C ' 1000 = 40   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

(b)

x = 1522   u n i d a d e s

(c)

c M Í N = 121,62   d ó l a r e s   p o r   u n i d a d e

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