Enunciado

Uma função custo é dada.

Encontre as funções custo médio e custo marginal.

Use os gráficos das funções na parte (a) para estimar o nível de produção que minimize o custo médio.

Use o cálculo para encontrar o custo médio mínimo.

Encontre o valor mínimo do custo marginal.

C x = 339 + 25 x - 0,09 x 2 + 0,0004 x 3

Passo 1

(a) A função custo médio c ( x ) é encontrada dividindo o custo total pelo número de unidades. Então:

c x = C x x = 339 x + 25 - 0,09 x + 0,0004 x 2

A função custo marginal é a derivada do custo total:

C ' x = 25 - 0,18 x + 0,0012 x 2

Passo 2

(b) Usando uma calculadora gráfica, vamos representar o gráfico de c ( x ) e C ' ( x ) :

A condição para que o custo médio seja mínimo é que ele seja igual ao custo marginal:

c x = C ' x ⇒ c   é   m í n i m o

Olhando os gráficos, vemos que isso ocorre para x ≈ 136   u n i d a d e s .

Passo 3

(c) Agora usamos a expressão de c ( x ) para encontrar seu valor mínimo, que ocorre em x = 136 :

c x = 339 x + 25 - 0,09 x + 0,0004 x 2

c 136 = 339 136 + 25 - 0,09 136 + 0,0004 136 2 = 22,65

Então:

c m í n ≈ 22,65

Passo 4

(d) Agora calculamos o custo marginal mínimo. Podemos fazer isso olhando o gráfico ou derivando C ' ( x ) e igualando a zero. Vamos fazer pela derivada.

C ' x = 25 - 0,18 x + 0,0012 x 2

⇒ C ' ' x = - 0,18 + 0,0024 x

Igualando a zero:

- 0,18 + 0,0024 x = 0

⇒ x = 0,18 0,0024 = 75   u n i d a d e s

Olhando para o gráfico de C ' ( x ) , verificamos que temos para esse valor de x de fato um mínimo. Então calculamos esse mínimo:

C m í n ' = C ' 75 = 25 - 0,18 75 + 0,0012 75 2

⇒ C m í n ' = 18,25

Resposta

(a)

c x = 339 x + 25 - 0,09 x + 0,0004 x 2

C ' x = 25 - 0,18 x + 0,0012 x 2

(b)

c   é   m í n i m o ⇒ x = 136

(c)

c M Í N = 22,65

(d)

C M í n ' = 18,25

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