Enunciado

A função J 0 definida por

J 0 x = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ x   s e n t d t

é chamada de função de Bessel de ordem zero.

(a) Encontre uma função f e um intervalo [ a ,   b ] para o qual J 0 ( 1 ) seja o valor médio de f sobre [ a ,   b ] .

(b) Dê uma estimativa para J 0 ( 1 ) .

(c) Use um CAS para traçar o gráfico de y   =   J 0 ( x ) no intervalo 0   ≤   x   ≤   8 .

(d) Dê uma estimativa para o menor zero positivo de J 0 .

Passo 1

(a)Para achar essa f e esse intervalo, vamos ter que comparar a expressão de J 0 ( 1 ) :

J 0 1 = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ s e n t d t

Com a fórmulinha para achar o valor médio de uma função f num intervalo [ a , b ] :

f m = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

Queremos uma f e um intervalo onde f m seja J 0 ( 1 ) . Podemos escrever:

f m = J 0 ( 1 )

1 b - a ∫ a b f ( x ) d x = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ s e n t d t

Comparando as duas expressões, vemos que os dois lados da equação vão ser iguais se:

1 b - a = 1 π - 0 = 1 π ∴ a , b = [ 0 , π ]

f x = cos ⁡ ( s e n   x )

Passo 2

(b) Para dar uma estimativa para J 0 ( 1 ) , temos que calcular:

J 0 1 = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ s e n   t d t

Vamos usar o Wolfram Mathematica para fazer essa continha. Fica assim:

A gente precisa usar a integração numérica porque essa integral não tem solução analítica. O resultado é:

J 0 1 ≈ 0,7652

Passo 3

(c) Vamos usar o Wolfram Mathematica de novo para fazer o gráfico de:

J 0 x = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ x   s e n t d t

No intervalo [ 0,8 ] . Fica assim:

Passo 4

(d) O que ele quer é o menor valor positivo onde essa função zera. Ou seja, o ponto do lado direito do gráfico onde a função corta o eixo x , e que está mais próximo da origem.

Vemos que isso acontece em um valor de x   um pouco maior que 2 . Podemos usar o CAS para estimar esse valor com mais precisão, usando o comando de achar as coordenadas em um gráfico.

Fazendo isso, podemos dizer que:

J 0 x = 0 ∴ x ≈ 2,4042

Isso aí! Conseguimos!

Resposta

(a)   a , b = [ 0 , π ] , f x = cos ⁡ ( s e n   x )

(b) J 0 1 ≈ 0,7652

(c)

(d)   J 0 x = 0 ∴ x ≈ 2,4042

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