Enunciado

Se um automóvel alcança uma média de 12   k m por litro de gasolina, então também ocorre que, em média, esse automóvel gasta 1 / 12 de litro por km. Interprete essa afirmação usando o conceito de valor médio de uma função em um intervalo.

Passo 1

Vamos lembrar do conceito de valor médio de uma função. Ele é descrito pela fórmulinha:

f m = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

E digamos que a gente tem uma função s ( x ) que descreve o quanto um automóvel anda em função de quanta gasolina ele gasta.

Para provar o que a afirmação diz, podemos dizer que num intervalo que tenha o tamanho de um litro, ou seja:

b - a = 1   l i t r o

O valor médio dessa função é 12   k m / l i t r o . Escrevendo a fórmula para essa situação:

s m = 1 b - a ∫ a b s ( x ) d x

12 = 1 1 ∫ a b s ( x ) d x ∴ 12 = ∫ a b s ( x ) d x

Passo 2

Podemos reler essa integral:

12 = ∫ a b s ( x ) d x

Ela diz que no intervalo [ a , b ] , onde o automóvel gasta 1   l i t r o , ele andou 12   k m . Se a gente fizer a média aritmética do gasto de gasolina pela distância:

1   l i t r o 12   k m = 1 12   l i t r o / k m

Como o enunciado pediu para provar, o automóvel gasta em média 1 / 12   l i t r o por k m .

Resposta

Prova nos passos

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