Enunciado

A função f definida por f x = 2 + x 3   - 2 x - 8 é descontínua em 8. Mostre que a descontinuidade é removível e redefina f ( 8 ) de modo a removê-la.

Passo 1

Nesse exercício, temos que lembrar que quando temos descontinuidade removível é só conseguir “preencher a bolinha aberta” no gráfico pra ficar contínua, como nesse gráfico aleatório que eu fiz.

Bastaria preencher a bolinha para que fique uma linha sem “tirar o lápis do papel”. Mas como mostramos e fazemos isso matematicamente?

Passo 2

Para demonstrar que a função possui descontinuidade removível, temos que mostrar que os limites laterais no ponto onde tem a bolinha aberta são iguais e, portanto, bastaria definir o valor da f no ponto.

Fazemos, então:

lim x → 8 + ⁡ 2 + x 3   - 2 x - 8   e   lim x → 8 - ⁡ 2 + x 3   - 2 x - 8

E mostraremos que são iguais.

Passo 3

Para resolver esses limites, multiplicamos em cima e em baixo pelo conjugado do numerador. Ou seja, por 2 + x 3 + 2 , lembrando que a - b a + b = a 2 - b 2

Logo, temos:

lim x → 8 + ⁡ 2 + x 3   - 4 ( x - 8 ) ( 2 + x 3 + 2 )   e   lim x → 8 - ⁡ 2 + x 3   - 4 ( x - 8 ) ( 2 + x 3 + 2 )

Repara que nós estamos resolvendo essencialmente o mesmo limite, então vou fazer só um pois o outro é análogo, ok?

Passo 4

lim x → 8 + ⁡ 2 + x 3   - 4 ( x - 8 ) ( 2 + x 3 + 2 ) =   lim x → 8 + ⁡ x 3   - 2 ( x - 8 ) ( 2 + x 3 + 2 )

Agora, vemos que se tirássemos a raíz cúbica do numerador e o 2 fosse 8 (2 ao cubo), poderíamos cortar a indeterminação! Assim, usamos aquele produto notável que diz: a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

Usando a = x 3   e   b = 2 ,   multiplicamos no numerador e denominador por ( x 2 3 + 2 x 3 + 4 ) e temos então

lim x → 8 + ⁡ x - 8 x - 8 2 + x 3 + 2 x 2 3 + 2 x 3 + 4

E pronto! Agora é só cortar a indeterminação e substituir por 8.

lim x → 8 + ⁡ 1 1 2 + x 3 + 2 x 2 3 + 2 x 3 + 4 = 1 48

Como a resolução desse limite não depende se x é maior o menor que 8, temos então que

lim x → 8 - ⁡ 1 1 2 + x 3 + 2 x 2 3 + 2 x 3 + 4 = 1 48

Logo, mostramos que os limites laterais são iguais!

Passo 5

Para FINALIZAR o exercício, precisamos redefinir f ( 8 ) para poder dizer que é contínua. Mas lembra, precisamos preencher a bolinha aberta. Matematicamente, significa escolher um valor para f ( 8 ) de forma que os limites laterais sejam iguais a f no ponto!

Assim, vimos que os limites valem 1/48. Podemos, então, definir f 8 = 1 48

Resposta

f 8 = 1 48

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