Enunciado

Nos exercícios de 7 a 12, ache a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ( x 1 , y 1 ) . Faça uma tabela de valores de x, y e m nos vários pontos do gráfico e inclua na tabela os pontos onde o gráfico tem uma tangente horizontal. Faça um esboço do gráfico.

7)   y = 3 x 2 - 12 x + 8

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = 3 x 2 - 12 x + 8 , temos:

f x 1 + ∆ x = 3 x 1 + ∆ x 2 - 12 x 1 + ∆ x + 8 e

f x 1 = 3 x 1 2 - 12 x 1 + 8

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ = 3 x 1 + ∆ x 2 - 12 x 1 + ∆ x + 8           - 3 x 1 2 - 12 x 1 + 8 ∆ x

Desenvolvendo o produto notável teremos:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ 6 x 1 ∆ x - 12 ∆ x + 3 ∆ x 2 ∆ x

Simplificando:

m x 1 = 6 x 1 - 12

Passo 2

Agora apresentaremos uma tabela com alguns valores de x, y e m no intervalo [ 0,4 ]

Passo 3

Agora faremos o esboço do gráfico:

Resposta

Inclinação da reta tangente: m x 1 = 6 x 1 - 12

Tabela de valores de x, y e m:

Gráfico:

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