Enunciado

A função s t descreve a posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t está em segundos.

  1. Encontre as funções velocidade e aceleração.
  2. Encontre no instante t = 1 a posição, a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração.
  3. Em que instantes a partícula está parada?
  4. Quando a partícula está aumentando ou diminuindo a velocidade?
  5. Encontre a distância total percorrida pela partícula entre t = 0 e t = 5 .

s t = t 2 + 8 e - t 3 ,           t ≥ 0

Passo 1

  1. Para acha a função velocidade é só derivar a função posição, vamos lá:
  2. v t = s ' t = 2 t 2 - 1 + 0 e - t 3 + t 2 + 8 e - t 3 - 1 3 = 2 t e - t 3 - 1 3 t 2 + 8 e - t 3 =

    = e - t 3 2 t - 1 3 t 2 - 8 3

    E a função aceleração é a derivada da função velocidade, vamos então derivar:

    a t = v ' t = e - t 3 - 1 3 2 t - 1 3 t 2 - 8 3 + e - t 3 2 - 1 3 ⋅ 2 ⋅ t 2 - 1 - 0 =

    = - e - t 3 3 2 t - 1 3 t 2 - 8 3 + e - t 3 2 - 2 3 t = e - t 3 - 2 3 t + 1 9 t 2 + 8 9 + 2 - 2 3 t =

    = e - t 3 - 4 3 t + 1 9 t 2 + 8 + 18 9 = e - t 3 - 4 3 t + 1 9 t 2 + 26 9

    Passo 2

  3. Aqui vamos substituir o valor de t = 1 para achar a posição, a velocidade e a aceleração em suas respectivas fórmulas achadas no passo anterior:
  4. s 1 = 1 2 + 8 e - 1 3 = 9 e - 1 3

    v 1 = e - 1 3 2 ⋅ 1 - 1 3 ⋅ 1 2 - 8 3 = e - 1 3 2 - 1 3 - 8 3 = e - 1 3 6 - 1 - 8 3 = e - 1 3 - 3 3 = - e - 1 3

    a 1 = e - 1 3 - 4 3 ⋅ 1 + 1 9 ⋅ 1 2 + 26 9 = e - 1 3 - 4 3 + 1 9 + 26 9 = e - 1 3 - 12 + 1 + 26 9 =

    = e - 1 3 15 9 = 5 3 e - 1 3

    Já a velocidade escalar como descreve somente quão rápido uma partícula se move, ela é dada pela fórmula:

    v t = s ' t

    Vamos substituir o valor:

    v 1 = s ' 1 = - e - 1 3 = e - 1 3

    Passo 3

  5. A partícula está parada no tempo em que a função velocidade é igual a zero, vamos igualar a função a zero e achar o tempo:
  6. v t = e - t 3 2 t - 1 3 t 2 - 8 3 = 0 → 2 t - 1 3 t 2 - 8 3 = 0 → 6 t - t 2 - 8 3 = 0 → 6 t - t 2 - 8 = 0

    t = 2

    t = 4

    A partícula então está parada em t = 2 e t = 4 .

    Passo 4

  7. A partícula aumenta a velocidade se a velocidade e a aceleração tiverem o mesmo sinal; e a partícula diminui se a velocidade e a aceleração tiverem sinal oposto.
  8. Vamos ver onde a velocidade e aceleração é positiva e negativa:

    No intervalo de tempo em t ≥ 0 , v t muda de sinal em t = 2 e t = 4 e a t muda de sinal em:

    a t = e - t 3 - 4 3 t + 1 9 t 2 + 26 9 = 0 → - 12 t + t 2 + 26 9 = 0 → - 12 t + t 2 + 26 = 0 →

    t = 6 + 10

    t = 6 - 10

    Mas como o intervalo de tempo aqui é t ≥ 0 , vamos considerar só t = 12 .

    Temos que a velocidade v t > 0 quando 2 < t < 4 e v t < 0 quando 0 < t < 2 e t > 4 .

    Já com a aceleração temos que a t > 0 quando 0 < t < 6 - 10 , t > 6 + 10 e a t < 0 quando 6 - 10 < t < 6 + 10 .

    Assim a partícula está acelerando em 2 < t < 6 - 10 e 4 < t < 6 + 10 e desacelerando em 0 < t < 2 , 6 - 10 < t < 4 e t > 6 + 10 .

    Passo 5

  9. A distância total percorrida pela partícula entre t = 0 e t = 5 não deve levar em conta o quanto foi percorrido totalmente, não podendo pegar simplesmente a posição final e inicial e subtrair, assim deve ser levado em consideração o ponto onde ele estava parado, vamos então calcular pela fórmula:

s 5 - s 4 + s 4 - s 2 + s 2 - s 0

s 5 = 5 2 + 8 e - 5 3 = 33 e - 5 3

s 4 = 4 2 + 8 e - 4 3 = 24 e - 4 3

s 2 = 2 2 + 8 e - 2 3 = 12 e - 2 3

s 0 = 0 2 + 8 e - 0 3 = 8 ⋅ 1 = 8

Substituindo:

s 5 - s 4 + s 4 - s 2 + s 2 - s 0 =

= 33 e - 5 3 - 24 e - 4 3 + 24 e - 4 3 - 12 e - 2 3 + 12 e - 2 3 - 8 =

= - 0,0934 + 0,1653 + - 1,8389 = 0,0934 + 0,1653 + 1,8389 = 2,0976

Assim, A distância total percorrida pela partícula entre t = 0 e t = 5 é de 2,0976 metros.

Resposta

  1. v t = e - t 3 2 t - 1 3 t 2 - 8 3 e a t = e - t 3 - 4 3 t + 1 9 t 2 + 26 9
  2. s 1 = 9 e - 1 3 , v 1 = - e - 1 3 , a 1 = 5 3 e - 1 3 e v 1 = e - 1 3
  3. t = 2 e t = 4
  4. A partícula está acelerando em 2 < t < 6 - 10 e 4 < t < 6 + 10 e desacelerando em 0 < t < 2 , 6 - 10 < t < 4 e t > 6 + 10
  5. 2,0976 m
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