Enunciado

Uma função f ( x , y , z ) é dita harmônica se

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0

para qualquer x , y , z ∈ R 3 . Mostre que, se f é classe C 2 e harmônica e S é uma superfície fechada, então

∬ S ∇ f     .     n   d s = 0     .

Passo 1

Se liga! O enunciado nos diz que uma função f é dita harmônica se, para todo x , y , z ∈ R 3 ,

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0     .

Mas podemos reescrever esta relação como

d i v   ∇ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0   .

Passo 2

Consideramos que temos uma superfície fechada, podemos aplicar o Teorema de Gauss.

∬ S F →     .   n →   d s = ∭ W d i v F → d V

Na nossa questão podemos associar

F ⟹ ∇ f

Assim podemos reescrever

∬ S ∇ f     .   n   d s = ∭ W d i v ∇ f d V

Como já conhecemos que

d i v   ∇ f = 0

Como o lado direito da ZERO, podemos dizer que

∬ S ∇ f     .   n   d s = 0   .

Resposta

A p l i c a n d o   o   T e o r e m a   d e   G a u s s ,   t e m o s

∬ S ∇ f     .   n   d s = 0

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