Enunciado

A função de Fresnel S foi definida no Exemplo 3, e seus gráficos estão nas figuras 7 e 8.

  1. Em que valores de x essa função tem valores de máximos locais?
  2. Em que intervalos a função é côncava para cima?
  3. Use um gráfico para resolver a seguinte equação, com precisão de duas casas decimais;

∫ 0 x s i n ⁡ ( π t 2 / 2 ) d t   = 0,2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom, temos a seguinte função:

S x = ∫ 0 x s i n ⁡ ( π t 2 / 2 ) d t  

Queremos descobrir em que valores de x essa função tem valores de máximos locais, ou seja, quando a derivada S ' x muda seu sinal de positivo para negativo.

Além disso, também queremos descobrir os intervalos em que a função é côncava para cima, ou seja, quando a segunda derivada S ' ' x for positiva.

Por fim, devemos resolver a seguinte integral utilizando um gráfico:

∫ 0 x s i n ⁡ ( π t 2 / 2 ) d t   = 0,2

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

A função de Fresnel

S x = ∫ 0 x s i n ⁡ ( π t 2 / 2 ) d t  

Tem um máximo local quando S ' x = 0 e quando   S ' muda de um valor positivo para um valor negativo. Podemos calcular S ' ( x ) pela Parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo:

S ' x = sin ⁡ π x 2 2

  1. Para x > 0 . Temos um máximo quando
  2. π x 2 2 = 2 n - 1 π ∴

    x 2 = 2 2 n - 1 ∴

    x = 4 n - 2 ,     ∀     n   i n t e i r o   e   p o s i t i v o

  3. Para x < 0 . Temos um máximo local quando

π x 2 2 = 2 n π ∴

x 2 = 4 n ∴

x = 4 n ∴

x = - 2 n

Passo 3

S é côncava para cima nos intervalos onde S ' ' x > 0 .

Vamos encontrar primeiro S ' ' ( x ) :

S ' ' x = d d x sin ⁡ π x 2 2 = cos ⁡ π x 2 2 ⋅ π x

  1. Para x > 0 , S ' ' x > 0 quando
  2. cos ⁡ π x 2 2 > 0 ∴

    0 < π x 2 2 < π 2

    Ou

    2 n - 1 2 π < π x 2 2 < 2 n + 1 2 π   ,     ∀   n   u m   n ú m e r o   i n t e i r o

    Resolvendo, nos intervalos, obtemos:

    0 < x < 1

    Ou

    4 n - 1 < x < 4 n + 1 ,     ∀   n   i n t e i r o   e   p o s i t i v o

  3. Para x < 0 , S ' ' x > 0 quando:

cos ⁡ π x 2 2 > 0 ∴

2 n - 3 2 π < π x 2 2 < 2 n - 1 2 π ∴

4 n - 3 < x 2 < 4 n - 1 ∴

4 n - 3 < x < 4 n - 1

Como x < 0 , temos:

4 n - 3 < - x < 4 n - 1 ∴

- 4 n - 3 > x > - 4 n - 1 ,   ∀   n   i n t e i r o   e   p o s i t i v o

Então, para x < 0 , S ' ' x > 0 no intervalo:

- 4 n - 1 ,   - 4 n - 3

Juntando todas as informações, temos que S é côncava para cima nos intervalos

0,1 ,   - 3 , - 1 ,   3 , 5 ,   - 7 , - 5 ,   7 , 3 ,   …

Passo 4

Se usarmos o Mapple

Pelo gráfico vemos que ∫ 0 x s i n ⁡ ( π t 2 / 2 ) d t   = 0,2 quando x ≈ 0,74 .

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

  1. x = 4 n - 2   e   x = - 2 n ,     ∀     n   i n t e i r o   e   p o s i t i v o
  2. 0,1 ,   4 n - 1 , 4 n + 1   e   - 4 n - 1 , - 4 n - 3
  3. x ≈ 0,74
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