Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 71-76.

d y d x = 4 x x 2 + 8 - 1 / 3 ,   y 0 = 0  

Passo 1

Vamos começar passando pro outro lado o d x :

∫ d y = ∫ 4 x x 2 + 8 - 1 / 3 d x

Em seguida, vamos fazer uma substituição de variável:

u = x 2 + 8

Derivando dos dois lados:

d u = 2 x + 0 d x = 2 x d x

d u 2 = x d x

Substituindo na integral:

y = ∫ 4 x x 2 + 8 - 1 / 3 d x = ∫ 4 x 2 + 8 - 1 / 3 x d x = ∫ 4 u - 1 3 d u 2

Passo 2

Vamos resolver a integral agora:

y = 2 ∫ u - 1 3 d u = 2 u 2 / 3 2 / 3 = 3 u 2 / 3

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

y = 3 u 2 / 3 = 3 x 2 + 8 2 / 3 + C

Passo 3

Substituindo o ponto dado na função:

y 0 = 0 = 3 0 2 + 8 2 / 3 + C

C = 0 - 3 0 2 + 8 2 / 3

C = - 3 8 2 / 3

C = - 3 8 2 3

C = - 3 64 3 = - 3 ∙ 4 = - 12

Fim!!!

Resposta

y = 3 x 2 + 8 2 / 3 - 12

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