Enunciado

Uma função importante em Estatística é a função densidade de probabilidade definida por

f x = 1 σ 2 π [ - x - μ 2 2 σ ² ]

Onde σ   e   μ são constantes tais que σ > 0 e μ é um número real qualquer. Ache:

  1. Os extremos relativos de f;
  2. Os pontos de inflexão do gráfico de f;
  3. lim x → ∞ ⁡ f ( x ) ;
  4. lim x → - ∞ ⁡ f x ;
  5. Faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

Letra (a), para determinar os extremos relativos de uma função devemos achar os valores para os quais f ' x = 0 ou não existe.

Calculando a derivada:

f x = 1 σ 2 π [ - x - μ 2 2 σ ² ]

Para facilitar a compreensão podemos fazer algumas substituições:

1 σ 2 π = a

- x - μ 2 2 σ 2 = y

Sendo assim:

f x = a y

A derivada de uma função deste tipo é dada como:

a x ' = ( ln ⁡ ( a ) ) a x

Como y é dado em função da variável x, usamos a Regra da Cadeia:

f ' x = ( ln ⁡ ( a ) ) a y . y '

Derivando y:

y = - x - μ 2 2 σ 2 = - x ² - 2 x μ + μ ² 2 σ 2

y ' = - 1 2 σ 2 . 2 x - 2 μ = - 2 2 σ 2 . x - μ = μ - x σ 2 .

Então:

f ' x = μ - x σ 2 . ln ⁡ 1 σ 2 π 1 σ 2 π [ - x - μ 2 2 σ ² ]

Igualando a 0

μ - x σ 2 . ln ⁡ 1 σ 2 π . 1 σ 2 π [ - x - μ 2 2 σ ² ] = 0

μ - x σ 2 = 0

x = μ

Quando x = μ a função terá um extremo relativo.

Passo 2

Letra (b), para saber se o gráfico possui ponto de inflexão devemos calcular os valores para os quais f ' ' x = 0 ou não existe.

Para derivar usamos a Regra da Cadeia:

f ' ' x = ln ⁡ 1 σ 2 π . - 1 σ 2 1 σ 2 π - x - μ 2 2 σ 2 + μ - x σ 2 . μ - x σ 2 . ln ⁡ 1 σ 2 π 1 σ 2 π - x - μ 2 2 σ 2

f ' ' x = ln ⁡ 1 σ 2 π . 1 σ 2 π - x - μ 2 2 σ 2 - 1 σ 2 + ln ⁡ 1 σ 2 π . μ - x ² σ 4

Igualando a 0:

ln ⁡ 1 σ 2 π . 1 σ 2 π - x - μ 2 2 σ 2 - 1 σ 2 + ln ⁡ 1 σ 2 π . μ - x ² σ 4 = 0

- 1 σ 2 + ln ⁡ 1 σ 2 π . μ - x ² σ 4 = 0

( ln ⁡ 1 - ln ⁡ σ 2 π ) . μ - x ² σ 4 = 1 σ 2

- ln ⁡ σ 2 π . μ - x ² σ 4 = 1 σ 2

- μ - x ² σ 4 = 1 σ 2 . ln ⁡ σ 2 π

μ - x ² = - σ 4 σ 2 . ln ⁡ σ 2 π

μ ² - 2 x μ + x ² = - σ 2 ln ⁡ σ 2 π

Reorganizando

x ² - ( 2 μ ) x + μ 2 + σ 2 ln ⁡ σ 2 π = 0

Resolvendo:

x = μ ± σ . - 1 ln ⁡ σ 2 π

Quando   σ 2 π ≥ 1 o valor de ln ⁡ σ 2 π ≥ 0 e, consequentemente, não há valor real para x. Quando σ 2 π < 1 , ln ⁡ σ 2 π < 0 e os pontos de inflexão serão:

x = μ ± σ . - 1 ln ⁡ σ 2 π

Passo 3

Letra (c),

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → ∞ ⁡ 1 σ 2 π [ - x - μ 2 2 σ ² ] = lim x → ∞ ⁡ σ 2 π [ x - μ 2 2 σ ² ] = ∞

A função é divergente.

Na letra (c):

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ 1 σ 2 π [ - x - μ 2 2 σ ² ] = lim x → - ∞ ⁡ σ 2 π [ x - μ 2 2 σ ² ] = ∞

A função é divergente.

Passo 4

Na Letra (d), para esboçar o gráfico podemos assumir valores aleatórios para σ   e   μ  

σ = 2   |   μ = 2 → σ 2 π ≥ 1 → n ã o   h á   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o !

σ = 2   |   μ = 0,2 → σ 2 π < 1 →   h á   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o !

Resposta

  1. Extremos relativos: x = μ ;
  2. Quando σ 2 π < 1 , os pontos de inflexão são: x = μ ± σ . - 1 ln ⁡ σ 2 π ,
  3. Quando σ 2 π ≥ 1 , não há pontos de inflexão;

  4. lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = ∞ ;
  5. lim x → - ∞ ⁡ f x = ∞ ;
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