Enunciado

Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a . Diga quem é f e a em cada caso.

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ π + h + 1 h

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😉

Para resolver esse exercício, vamos comparar o limite do enunciado com essa fórmula da derivada em um ponto a qualquer:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

A forma mais simples de fazer isso e encontrar quem é f ( a + h ) no limite do enunciado. Vou igualar o nosso limite com a fórmula que temos para a derivada em um ponto:

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ π + h + 1 h = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Agora, temos que imaginar que função f e ponto a satisfazem essas condições. Quando tivermos um palpite bom, testamos e e conferimos para ter certeza de que tá tudo certinho, beleza? Comparando as expressões, vou igualar esses caras aqui:

f a + h = cos ⁡ π + h

f a = - 1

É bom atentar que para resolver esse tipo de questão não tem beeeeeem um método fixo. As vezes temos mais de uma solução (o que vai ser o nosso caso, mas a gente viai chegar lá). No geral, é mais questão de olhar, comparar as expressões e testar o palpite, beleza?

Veja só! 😇

Passo 2

Olhando a expressão de f ( a + h ) , o primeiro palpite que podemos ter é f x = cos ⁡ x e que o nosso ponto é a = π . Supondo que isso é verdade, vamos escrever quem seria o nosso f ( π ) , f ( π + h ) e jogar na expressão da derivada no ponto:

f π = cos ⁡ π = - 1

f π + h = cos ⁡ π + h

Agora, jogando na expressão da derivada:

f ' 16 = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ π + h - ( - 1 ) h

f ' 16 = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ π + h + 1 h

Pronto! Sabemos que f x = cos ⁡ x e a = π é uma solução para o nosso problema!

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

A questão poderia acabar no passo 2 já – nos é dito para falarmos quem é f e quem é a . Acontece que, nesse caso a gente tem uma outra possível solução: considerar que o ponto vai ser a = 0 e f x = cos ⁡ π + x . Escrevendo quem seria f ( 0 ) e f ( 0 + h ) , teremos:

f 0 = cos ⁡ π + 0 = cos ⁡ π = - 1

f 0 + h = cos ⁡ π + 0 + h = cos ⁡ π + h

Jogando na expressão da nossa derivada, vamos ter:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ π + h - ( - 1 ) h

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ π + h + 1 h

Resumo da ópera: se pegarmos o ponto a = 0 com f x = cos ⁡ π + x , tudo certo, também vamos ter respondido a questão corretamente ;)

O que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

f x = cos ⁡ x   e   a = π

ou

f x = cos ⁡ π + x   e   a = 0

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Derive a função: f x = 186 , 5
Calcule: l i m x → 1x 1000 - 1 x - 1
Calcule f ' ( x ) , pela definição. e )f x = 5 x