Enunciado

O que é uma função potencial? Mostre com um exemplo como

encontrar uma função potencial para um campo conservativo

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Esta atividade pede para respondermos o que é uma função potencial? Também daremos um exemplo de como encontrar uma função potencial para um campo conservativo.Acompanhe a explicação!

Passo 2

A definição de função potencial é:Se F é um vetor de campo definido em D e F = ∇ f para alguma função escalar f em D , então f é chamada de função potencial para F .Para sabermos se a função f é uma função potencial para um campo conservativo existe um teste:

"Seja F = M ( x , y , z ) i + N ( x , y , z ) j + P ( x , y , z ) k ser um campo conectado e simplesmente conectado domínio a qual as componentes da função possuam primeiras derivadas parciais contínuas. Assim, F é conservativo se e somente se

∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y n

O exemplo 3 da seção 16.3 do livro texto mostra uma aplicação dessa propriedade. Aplicando F = ∇ f com o uso das derivadas parciais, pode-se encontrar uma ou todas as funções que podem resultar em campo conservativo, fazendo assim a função f ser uma função potencial de F.

Resposta

Resposta nos passos.

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Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 xi + yj + zk
b) Calcule int_C (2 x y^3 - y^2 cos x) d x + (1 - 2 y sin x + 3 x^2 y^2) d y , onde C é o arco da parábola 2 x = pi y^2 , de P_1 = (0,0) até P_2 = ((pi)/(2) , 1) .
Considere a integral de linha ∫ C y 2 - x y d x + k x 2 - 4 x y d y . b) Calcule o valor da integral de A = 0,0 a B = 1,1 para o valor de k encontrado em a).
Caso exista encontre uma função potencial para V (x , y) = (2 x y^3 - y^2 cos x , 1 - 2 y sin x + 3 x^2 y^2) .
Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calcule seus valoresa) ∫ 1 , - 2 3,4 y d x - x d y x 2