Enunciado

A função f x = sen ⁡ x + sen ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ π , aparece em aplicações a síntese de modulação de frequência (FM).

  1. Use uma calculadora gráfica para esboçar um gráfico da f e use esse gráfico para dar um esboço, mesmo que grosseiro, do gráfico de f ' .
  2. Calcule f ' ( x ) e, utilizando uma calculadora gráfica, use a expressão de f ' para obter seu gráfico. Compare com o obtido no item (a).

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função no intervalo 0 , π :

f x = sen ⁡ x + sen ⁡ 2 x

O enunciado nos pede para plotarmos o gráfico de f x por meio de uma calculadora gráfica para podermos, em seguida, fazer um esboço de f ' x .

Assim, bora plotar e observar alguns pontos e discutir, belezinha?? 😉

Em seguida, devemos calcular f ' x

Passo 2

Bom... plotando o gráfico de f x no intervalo dado, temos:

Analisando o gráfico de f , vemos que existem 5 tangentes horizontais (veja aqueles 5 pontos ali em cima).

Isso nos diz então que deve ter 5 zeros na gráfico de f ' .

Então, a partir da simetria do gráfico de f ,   devemos ter o gráfico de f ' no ponto mais alto em x = 0 e no mais baixo em x = π .

Temos na figura os intervalos de crescimento e decrescimento, assim como os sinais de f ' .

Assim, plotando f ' x (em cinza) e mostrando a relação entre os zeros de f ' x com os pontos das tangentes de f x mencionados anteriormente, temos:

Passo 3

Agora vamos derivar f x :

f x = sen ⁡ x + sen ⁡ 2 x

Aqui vamos usar algumas das regras, como a regra da cadeia, da soma e da função trigonométrica seno.

Da cadeia:

F ' x = f ' g x . g ' x

Da soma:

f x + g x ' = f ' x + g ' ( x )

Da função trigonométrica seno:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Passo 4

Vamos devagar então, primeiro com a regra da função trigonométrica e cadeia:

f ' x = sen ⁡ x + sen ⁡ 2 x ' = cos ⁡ x + sen ⁡ 2 x . x + sen ⁡ 2 x '

Agora vamos calcular essa nova derivada que surgiu e no fim nós substituímos de volta, aqui vamos usar a regra da soma e outra, a do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Vamos lá:

x + sen ⁡ 2 x ' = x ' + sen ⁡ 2 x ' ∴

x + sen ⁡ 2 x ' = 1 . x 1 - 1 + cos ⁡ 2 x . 2 x ' ∴

x + sen ⁡ 2 x ' = x 0 + cos ⁡ 2 x . 2 x 1 - 1 ∴

x + sen ⁡ 2 x ' = 1 + cos ⁡ 2 x . 2 x 0 ∴

x + sen ⁡ 2 x ' = 1 + cos ⁡ 2 x . 2.1 ∴

x + sen ⁡ 2 x ' = 1 + 2 cos ⁡ 2 x

Passo 5

Agora é só substituir de volta, simples assim:

f ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ 2 x . x + sen ⁡ 2 x ' ∴

f ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ 2 x . 1 + 2 cos ⁡ 2 x

Passo 6

Aqui temos o gráfico de f ' obtido a partir de uma calculadora gráfica:

Podemos ver a semelhança entre ele e o do obtido na letra (a).

Resposta

  1. f ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ 2 x . 1 + 2 cos ⁡ 2 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em