Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 3.6 - Ex. 97

Ver Outros Exercícios
desse livro

Funcionamento muito rápido de um maquinário. Suponha que um pistão se desloque para cima e para baixo e que a sua posição no instante t segundos seja dada por

s = A ⋅ c o s ⁡ ( 2 π b t )

Com A e b positivos. O valor de A é a amplitude do movimento, e de b é a frequência (número de vezes que o pistão se desloca para cima e para baixo a cada segundo). Que efeito a duplicação da frequência tem sobre a velocidade, a aceleração e a sobreaceleração do pistão? (Ao descobrir a resposta, você entenderá por que uma máquina quebra quando funciona rápido demais.

Passo 1

A questão nos pede para entender o que acontece com a velocidade, a aceleração e a sobreaceleração quando o valor de b = 2 (frequência dobra). Para descobrirmos o que acontece, precisamos calcular estas grandezas. Eita! Como as calculamos? Esta é o grande problema da questão.

Para resolvermos este impasse, vamos utilizar nossos conhecimentos de física! Lá na física aprendemos que:

v = d s d t

a = d v d t = d 2 s d t 2

j = d a d t = d 2 v d t 2 = d 3 s d t 3

Agora sim! Basta derivarmos a função 3 vezes para obter cada uma dessas grandezas!

Passo 2

Vamos calcular cada uma das derivadas. Para a velocidade, temos:

v = d s d t = A [ cos ⁡ 2 π b t ] '

v = - 2 π A ⋅ s e n 2 π b t ⋅ b

Passo 3

Para a aceleração, temos:

a = d 2 s d t 2 = [ - 2 π A ⋅ s e n 2 π b t ⋅ b ] '

a = - 4 π 2 A ⋅ cos ⁡ 2 π b t ⋅ b 2

Passo 4

Para a sobreaceleração, temos:

j = d 3 s d t 3 = [ - 4 π 2 A ⋅ cos ⁡ 2 π b t ⋅ b 2 ] '

j = 8 π 3 A ⋅ sen ⁡ 2 π b t ⋅ b 3

Passo 5

Portanto, se nos dobrarmos a frequência, isto é, fazermos b = 2 , a velocidade dobrará, a aceleração quadruplicada e a sobreaceleração será multiplicada por 8. Uma pequena mudança na função posição causa uma grande mudança nas outras grandezas!

Resposta

A velocidade dobrará, a aceleração quadruplicada e a sobreaceleração será multiplicada por 8.

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função. y = 2 sen ⁡ π x

Ver Mais

Encontre a derivada da função. y = x 2 + 1 x 2 - 1 3

Ver Mais

Encontre a derivada da função. y = r r 2 + 1

Ver Mais

Encontre a derivada da função. y = cos ⁡ sen ⁡ tg ⁡ π x

Ver Mais

Encontre a derivada da função. y = x + x + x

Ver Mais