Enunciado

Nos exercícios de 25 a 36, ache a derivada da função dada

27) f z = ( z 2 - 5 ) 3 ( z 2 + 4 ) 2

Passo 1

Vamos aplicar primeiro a Regra do Quociente:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

Então nossa função vai ficar:

f ' z = d d z ( z 2 - 5 ) 3 ( z 2 + 4 ) 2 - ( z 2 - 5 ) 3 d d z ( z 2 + 4 ) 2 ( z 2 + 4 ) 4

Passo 2

Agora calculamos as derivadas que sobraram separadamente:

d d z ( z 2 - 5 ) 3

Usaremos a Regra da Cadeia. Primeiro a gente resolve a potência de fora:

d d t t 3 = 3 t 2

Agora substituímos o t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada do que está dentro:

3 ( z 2 - 5 ) 2 d d x ( z 2 - 5 )

Resolvendo essa última derivada e o produto:

6 z ( z 2 - 5 ) 2

Passo 3

Falta resolver a outra derivada que saiu do Passo 1:

d d z ( z 2 + 4 ) 2

Usamos a Regra da Cadeia mais uma vez. Primeiro a potência de fora:

d d t t 2 = 2 t

Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

2 ( z 2 + 4 ) d d x ( z 2 + 4 )

Resolvendo essa última derivada com o produto:

4 z ( z 2 + 4 )

Passo 4

Agora basta juntar tudo na Regra do Quociente que fizemos lá no Passo 1:

f ' z = 6 z ( z 2 - 5 ) 2   .   ( z 2 + 4 ) 2 - z 2 - 5 3   .   4 z ( z 2 + 4 ) ( z 2 + 4 ) 4

Simplificando:

f ' z = 2 z z 2 - 5 2 ( z 2 + 22 ) ( z 2 + 4 ) 3

Resposta

f ' z = 2 z z 2 - 5 2 ( z 2 + 22 ) ( z 2 + 4 ) 3

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