Enunciado

As funções da forma

f x = 1 2 π e - x 2 2

surgem em uma variedade de problemas estatísticos.

  1. Use o teste da derivada primeira para mostrar que f tem um máximo relativo em x = 0 e confirme isso usando um recurso gráfico computacional para esboçar o gráfico de f .
  2. Esboce o gráfico de

f x = 1 2 π e - x - μ 2 2

onde μ é uma constante, e identifique as coordenadas dos extremos relativos.

Passo 1

  1. Pronto, vamos lá, para achar os pontos relativos de f x vamos encontrar a primeira derivada:
  2. f ' x = 1 2 π e - x 2 2 - x 2 2 ' = 1 2 π e - x 2 2 - 2 x 2 - 1 2 =

    = 1 2 π e - x 2 2 - x = - x 2 π e - x 2 2

    Agora fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

    - x 2 π e - x 2 2 = 0 → - x e - x 2 2 = 0 → x = 0

    Pronto, temos como pontos críticos então:

    x = 0

    Passo 2

    Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:

    Se f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

    Se f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

    E se f ' x tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f não tem extremo relativo em x 0 .

    Vamos então analisar as derivadas no intervalo - 0,1 ; 0,1 que contém 0 :

    f ' - 0,1 = - - 0,1 2 π e - - 0,1 2 2 = 0,0397

    f ' 0,1 = - 0,1 2 π e - 0,1 2 2 = - 0,0397

    Pronto, temos então que f ' - 0,1 > 0 e f ' 0,1 < 0 , então f tem um máximo relativo em 0 , tudo certo!!

    Passo 3

  3. Agora para esboçar o gráfico de f x = 1 2 π e - x - μ 2 2 vamos ter que assumir algum valor para a constante μ , vamos então assumir μ = 1 , assim vamos ter o gráfico da seguinte forma:

Pelo gráfico dá pra ver que tem um extremo relativo em x = 1 , e ele á um máximo relativo, assim qualquer valor que a gente colocar de μ vai ser o valor do máximo relativo da função.

Resposta

b)

O valor de μ vai ser o valor do máximo relativo da função.

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Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos c , f c , d , f d , e , f e , se as condições dadas forem satisfeitas. Trace também um segmento da reta tangente em cada um desses pont
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