Enunciado

Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos c , f c , d , f d , e , f e , se as condições dadas forem satisfeitas. Trace também um segmento da reta tangente em cada um desses pontos, se houver uma reta tangente.

Suponha que c < d < e e que f seja contínua em algum intervalo contendo, c , d e e .

f ' c = 0

f ' d = - 1

f ' e = 0

f ' ' d = 0

f ' ' x < 0 ,     s e   x < d

f ' ' x > 0 ,     s e   x > d

Passo 1

Vamos com bastaaaante calma aqui nessa questão.

Muita informação que temos que entender. Aqui temos que analisar extremos relativos e pontos de inflexão.

Vamos começar olhando as primeiras derivadas em cada um dos pontos, para identificar os pontos críticos.

f ' c = 0

f ' d = - 1

f ' e = 0

Aqui temos

x = c

x = e

Os pontos críticos, porque neles a derivada é 0

Passo 2

Agora, vamos classificar esses pontos

Para isso vamos olhar a segunda derivada em cada um deles, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o test

Como

c < d

Temos:

f ' ' c < 0

Logo é um ponto de máximo relativo

Como

e > d

Temos:

f ' ' e > 0

Logo é um ponto de mínimo relativo

Passo 3

Vamos olhar agora o ponto de inflexão. Que é o ponto onde a segunda derivada muda de sinal.

Isso vai acontecer exatamente em x = d

Então esse é o nosso ponto de inflexão.

Passo 4

Para esboçarmos o gráfico, devemos colocar todas essas informações em uma tabela para nos organizarmos

Não podemos esquercer da derivada de d

f ' d = - 1

Que é a inclinação da reta tangente.

O esboço vai ficar:

Resposta

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Em cada parte, encontre o mínimo absoluto m e o máximo absoluto M de f no intervalo dado (se existirem) e indique onde ocorrem os extremos absolutos.a)f x = 1 x ;- 2 ,- 1 b) f x = x 3 - x 4 ;- 1 , 3 2
Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e use o teste da derivada primera para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou nenhum dos dois. a f x = x 1 3 x - 7 2 b f x = 2 s e n x - co
Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos de f ' e de f ' ' no intervalo indicado e, então, use-os para estimar as coordenadas x dos extremos relativos de f . Verifique se as suas es
Suponha que h e g tenham máximo relativo em x 0 . Prove que vale ou que não vale: f + g tem um máximo relativo em x 0 . h - g tem um máximo relativo em x 0 .
Em cada parte, encontre k de tal forma que f tenha um extremo relativo em x = 3 . f x = x 2 + k x f x = x x 2 + k