Enunciado

Um funil com um dado volume deve ter a forma de um cone circular reto. Ache a razão entre a altura e o raio da base se a quantidade de material usado em suan fabricação for mínima.

Passo 1

Visualizar o problema

Passo 2

Nosso problema é de otimização. Dado um volume FIXO, queremos a Menor Area.

Sabendo que :

Volume Cone = 1/3 h . Area da Base = 1 3 h   π r ² (I)

Area Lateral Cone = π r g (II)

Passo 3

Podemos usar pitagoras para encontrar g .

Logo

g² = h² + r²

g = h 2 + r 2 (III)

Assim, usando (II) em (II) temos :

ACone= π r h 2 + r 2

Nossa intenção é Derivar Acone e igualar a zero para encontrar a otimização. Porem A é uma função de h e r , ou seja , A(h,r). Assim temos que achar alguma outra relação que faça uma variável seja função da outra

Visto que Temos um volume fixo, então podemos pegar a equação (I) e igualar a uma constante arbitraria. Logo :

1 3 h   π r 2 = V 0

Assim temos que h = 3 V 0 π r ² .

Pronto , fizemos h ser função de r.

Passo 4

Nossa função de Area lateral fica agora

ACone= π r r 2 + 3 V 0 π r 2 2 = π r ² ( r 2 + 3 V 0 π r 2 2 ) =   π r ² r 6 + 3 V 0 π 2 r 4 =   π ² r 6 + 3 V 0 π 2 r ²  

Agora podemos otimizar nossa função.

d A d r = 0  

Um truque que pode nos ajudar

d d r π 2 r 6 + 3 V 0 π 2 r 2 = 0         ( I V )  

d d r π 2 r 6 + 3 V 0 π 2 r 2 = 0   V

Tem a mesma solução . Logo, por ser mais fácil , vou derivar a equação (V)

d d r π 2 r 6 + 3 V 0 π 2 r 2 = 0  

π 2 .   4 r 3 + ( 3 V 0 ) ² .   ( - 2 ) r - 3 = 0

π 2 .   4 r 3 = 18 V 0 2 . r - 3

r 6 = 18 V 0 2 4 π 2  

Passo 5

Queremos a razão h/r

Sabendo que h = 3 V 0 π r ² , podemos dizer que r² = 18 V 0 2 4 π 2   1 / 3  

Logo h = 3 V 0 π . 18 V 0 2 4 π 2   - 1 / 3      

Assim h/r = 3 V 0 π . 18 V 0 2 4 π 2   - 1 / 3   18 V 0 2 4 π 2   1 / 6   = 2

Resposta

h/r = 2

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