Enunciado

O gráfico apresentado sugere que a curva y = sen ⁡ x - sen ⁡ x tem tangentes horizontais no eixo x . Isso ocorre? Justifique sua resposta

Passo 1

Para verificarmos isso, temos que descobrir duas coisas:

  1. Quais os valores de x que a função é 0
  2. Qual a derivada nesse pontos.

Primeiro, vamos fazer y = 0 e achar os pontos que a função é 0 , ou seja, passa no eixo x

sen ⁡ x - sen ⁡ x = 0

Essa equaçãoficou um pouco complicada, mas o gráfico sugere que os valores de x = m π , são as raízes. Com m sendo inteiro.

Vamos testar:

y m π = sen ⁡ m π - sen ⁡ m π = sen ⁡ m π - 0 = sen ⁡ m π = 0

Opa, de fato são raízes.

Então a primeira parte está feita. Vamos olhar a derivada nesses pontos.

Passo 2

Vamos começar achando a derivada:

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

y = F x = w h x

Com

w x = sen ⁡ x

h x = x + sen ⁡ x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F ' x = w ' h x h ' x

Temos

w ' x = cos ⁡ x

Então

F ' x = cos ⁡ h x h ' x

Passo 3

Vamos finalizar achando a derivada de h x

h x = x + sen ⁡ x → h ' x = 1 + cos ⁡ x

Vamos ter

F ' x = cos ⁡ x + sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Agora, vamos testar x = m π

F ' m π = cos ⁡ m π + sen ⁡ m π 1 + cos ⁡ m π

F ' m π = cos ⁡ m π + 0 1 + cos ⁡ m π

F ' m π = cos ⁡ m π 1 + cos ⁡ m π

Esse cosseno que varia, se o m for par, vamso ter:

m   p a r → F ' m π = 1 1 + 1 = 2

Opa, com m par a tangente não é zero.

Agora para m ímpar:

m   i m p a r → F ' m π = 0 1 + 0 = 0

Entao quando m for ímpar ele vai ter tangente horizontal.

Então naquels pontos do gráfico que parecem ter tangentes horizontais, de fato temos, que são aqueles x da forma

x = 2 k + 1 π

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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22) Ache uma equação da reta tangente à curva y = 3 x 2 - 4 que é paralela à reta 3 x + y = 4 .
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