Enunciado

Se 4 x^2 - y^2 = 64 , mostre que

d s^2 = (4)/(y^2) (5 x^2 - 16) d x^2

Passo 1

Vamos começar vendo como é a fórmula do d s^2 :

d s^2 = d x^2 + d y^2

Repare que no enunciado ele quer que sobre um d x^2 ali no termo certo? Vamos coloca-lo em evidência na fórmula do d s^2

d s^2 = d x^2 (1 + (d y^2)/(d x^2))

Arrumando aquele termo ao quadrado dentro do parêntes, para aparecer a derivada, vamos ter:

d s^2 = d x^2 (1 + ((d y)/(d x))^2)

Entao para acharmos a fórmula do d s^2 , precisamos achar a derivada de y em relação a x

Passo 2

Vamos derivadar implicitamente. Ou seja, quando derivamos o y , vai aparecer sempre um y^' porque o y é uma função de x .

Temos que derivar a seguinte equação:

4 x^2 - y^2 = 64

Derivando dos dois lados, teremos:

(4 x^2 - y^2)^' = (64)^'

(4 x^2)^' - (y^2)^' = (64)^'

8 x - 2 y y^' = 0

Não equeça do y^' ali junto do y beleza?

Vamos isolar o y^'

y^' = (8 x)/(2 y)

y^' = (4 x)/(y)

Lembrando que

y^' = (d y)/(d x)

Vamos ter:

(d y)/(d x) = (4 x)/(y)

Passo 3

Voltando para a fórmula do d s^2

d s^2 = d x^2 (1 + ((d y)/(d x))^2)

Vamos substituir a derivada que achamos no último passo:

d s^2 = d x^2 (1 + ((4 x)/(y))^2)

d s^2 = d x^2 (1 + (16 x^2)/(y^2))

Igualando os denominadores na soma dentro dos parênteses

d s^2 = d x^2 ((y^2 + 16 x^2)/(y^2))

d s^2 = (d x^2)/(y^2) (y^2 + 16 x^2)

Essa não é exatamente a fórmula que ele deu né? Isso porque ele pegou o valor de y^2 pela equação inicial e substituiu ali. Assim oh:

4 x^2 - y^2 = 64

y^2 = 4 x^2 - 64

Substituindo:

d s^2 = (d x^2)/(y^2) (4 x^2 - 64 + 16 x^2)

d s^2 = (d x^2)/(y^2) (20 x^2 - 64)

Colocando o 4 em evidência:

d s^2 = (4 d x^2)/(y^2) (5 x^2 - 16)

Que é exatamente o que ele pediu.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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