Enunciado

O gráfico (do Departamento de Energia dos EUA) mostra como a velocidade do carro afeta o rendimento do combustível. O rendimento do combustível F é medido em milhas por galão e a velocidade v é medida em milhas por hora.

(a)Qual o significado da derivada F ' ( v ) ?(b) Esboce o gráfico de F ' ( v ) .(c) Em qual velocidade você deve dirigir se quer economizar combustível?

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá uma curva que relaciona a velocidade de um carro e o rendimento do combustível gasto:

O rendimento do combustível F aparece no eixo y e é medido em milhas por galão e a velocidade v , no eixo x , é medida em milhas por hora.

A partir daí queremos expressar qual o significado de F ' v , esboçar o gráfico de F ' v e dizer qual é a melhor velocidade para economizar combustível! Bora colocar a mão na massa?!

Passo 2

Para responder o item a), podemos lembrar da definição de derivada:

Dada uma função f x podemos dizer que f ' x representa a taxa de variação de f ao longo de x ou tambem a inclinação de f em um valor x .

Nesse caso, nossa função tem um significado, ela representa a o rendimento de combustível em função da velocidade. Portanto, podemos dizer que F ' v representa a taxa de variação do rendimento de combustível!

Passo 3

Agora para o item b) temos que esboçar o gráfico de F ' v . Vamos trazer F ( v ) pra perto pra analisarmos ela e também vamos desenhar algumas retas tangentes:

Podemos observar que uma parte da inclinação é positiva e que a partir do ponto inicial ela vai sempre diminuindo. O gráfico chega a um ponto máximo em v = 50   e a partir daí temos apenas inclinações negativas que no finalzinho parece aumentar levemente.

Podemos então deduzir que o gráfico de F ' ( v ) vai ser sempre decrescente partindo de um ponto inicial máximo. Tem uma região de F v onde a inclinação quase não muda e então chegamos a um ponto máximo de F v onde a reta tangente é horizontal com inclinação igual a zero, nesse ponto F ' ( v ) ira cruzar o eixo v .

Traduzindo todas essas reflexões pra um gráfico, vamos chegar em algo parecido com isso:

Passo 4

Ne letra (c) devemos responder em qual velocidade temos o consumo mínimo de combustível.

Pra chegarmos na resposta podemos analisar o gráfico de F ( v ) e observar o ponto onde andamos a maior quantidade de milhas por galão e também podemos observar o gráfico da sua derivada onde a taxa de variação do rendimento de combustível é igual a zero!

Independente do gráfico a resposta é a mesma, 50   m i / h !

Prontinho!

Resposta

a) F ' v representa a taxa de variação do rendimento de combustível

b) Esboço do gráfico.

c) 50   m i / h

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