Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 6.1 - Ex. 34

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desse livro

Use um gráfico para encontrar os valores aproximados das coordenadas x dos pontos de intersecção das curvas indicadas. A seguir, encontre a área aproximada da região delimitada pelas curvas.

y = x x 2 + 1 2 ,   y = x 5 - x

Passo 1

Vamos analisar esse problema. Bom, precisamos entender como cada gráfico se comporta, certo?

Então, o gráfico de uma polinomial é uma curva, né não? Então já sabemos que y = x 5 - x será uma e para cima porque o valor do coeficiente angular é positivo

Agora, a função y = x x 2 + 1 2 é uma função racional. Com isso, podemos ter uma noção do nosso graficozinho, que será assim:

Por ele, identificamos a região de interseção onde x ≥ 0 . Dizemos que x = 0 e x = a , por que não sabemos no momento quanto vale o outro ponto então chamamos de a . Pelo gráfico, percebemos que o valor de a é mais ou menos 1,05 .

Assim, podemos calcular a área!!

Passo 2

Calculando a área, temos

A = ∫ 0 1,05 [ x x 2 + 1 2 - ( x 5 - x ) d x

Vamos resolvê-la!!

Aplicamos o método da substituição para a primeira função,

u = x 2 + 1

d u = 2 x   d x

1 2 x d u = d x

Substituindo na integral,

A = ∫ 0 1,05 1 2 x × x u 2 d u - ∫ 0 1,05 ( x 5 - x ) d x

A = ∫ 0 1,05 1 2 × 1 u 2 d x - ∫ 0 1,05 ( x 5 - x ) d x

A = 1 2 ∫ 0 1,05 1 u 2 d x - ∫ 0 1,05 ( x 5 - x ) d x

Agora podemos resolver as integrais:

A = 1 2 ∫ 0 1,05 1 u 2 d x - ∫ 0 1,05 ( x 5 - x ) d x

A = 1 2 × ( - 1 u ) 0 1,05 - x 6 6 - x 2 2 0 1,05

Colocando o valor de u:

A = - 1 2 × 1 x 2 + 1 0 1,05 - x 6 6 - x 2 2 0 1,05

A = - 1 2 × 1 1,05 2 + 1 - ( 1,05 ) 6 6 - ( 1,05 ) 2 2

A = - 1 2 × 1 1,05 2 + 1 - 1,05 6 6 + ( 1,05 ) 2 2

A = 0,59

Resposta

A = 0,5 9

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