Enunciado

O gráfico da equação  x 2 3 + y 2 3 = 1 , que aparece na figura abaixo, é denominado

 hipocicloide quadricúspide.

 (a) Use o Teorema 0.2.3 para confirmar que esse gráfico é simétrico em relação ao eixo

 x, ao eixo y e à origem.

(b) Encontre uma função f cujo gráfico no primeiro quadrante coincide com a hipocicloide quadricúspide e use um recurso computacional gráfico para confirmar o que foi feito.

(c) Repita (b) para os demais quadrantes.

Passo 1

(a) Vamos ver, primeiro, o que diz o teorema 0.2.3:

- Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo y se, e somente se, substituindo-se x por −x em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.

- Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo x se, e somente se, substituindo-se y por −y em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.

- Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, substituindo-se x por −x e y por −y em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.

Então, vamos usar isso para responder ao problema. Só fazer as substituições do teorema e ver em qual dos 3 casos a função se encaixa.

Passo 2

Temos x 2 3 + y 2 3 = 1 .

Primeiro, vamos substituir x por - x :

- x 2 3 + y 2 3 = 1

Como - x 2 3 = - x 2 3 , o sinal de x não fará diferença na equação, pois ele será elevado ao quadrado. Dessa forma, a função não se altera e temos uma simetria em relação ao eixo y .

O mesmo vai acontecer para a substituição y → - y , pois y 2 3 = y 2 3 e o sinal de y não fará diferença na equação. Dessa forma, temos simetria em relação ao eixo x , também.

Além disso, quando substituímos x → - x e y → - y também não teremos alteração na equação, pelos mesmos motivos citados acima. Logo, teremos uma simetria em relação à origem, também!

Passo 3

(b) Para acharmos uma função correspondente ao hipocicloide, vamos isolar o y e escrevê-lo em função de x :

x 2 3 + y 2 3 = 1

y 2 3 = 1 - x 2 3

Para tirar o expoente do y , vamos elevar a equação toda a 3 / 2 :

y 2 3 3 2 = 𝑥 233/2

Assim, 2 / 3 multiplica 3 / 2 e resulta em 1 :

y = 1 - x 2 3 3 2

Dessa forma:

y = ± 1 - x 2 3 3

Obs.: lembre-se de que, ao tirar uma raiz quadrada, aceitamos valores positivos e negativos como resposta!

Se colocarmos + na função, pegaremos os valores positivos de y (acima do eixo x ). Se colocarmos - , pegaremos os valores negativos (abaixo de x ).

Como o primeiro quadrante está acima de x e acontece para x ≥ 0 , podemos fazer uma função desse tipo:

y = + 1 - x 2 3 3 ,   x ≥ 0

O gráfico desse cara é:

Que é exatamente o primeiro quadrante do hipocicloide!!

Passo 4

(c) Para o segundo quadrante, podemos usar a mesma equação do passo anterior, mas agora temos que x ≤ 0 . Então:

y = + 1 - x 2 3 3 ,   x ≤ 0

O gráfico fica:

Passo 5

O terceiro quadrante está localizado abaixo do eixo x e nos valores para x ≤ 0 , certo? Então, podemos usar a equação:

y = - 1 - x 2 3 3 ,   x ≤ 0

O gráfico fica:

Passo 6

Para o quarto quadrante, podemos usar a mesma equação do passo anterior, mas agora temos que x ≥ 0 . Então:

y = - 1 - x 2 3 3 ,   x ≥ 0

O gráfico fica:

Prontinho!

Resposta

(a) Explicação no passo a passo.

(b) y = + 1 - x 2 3 3 ,   x ≥ 0

(c) y = + 1 - x 2 3 3 ,   x ≤ 0

y = - 1 - x 2 3 3 ,   x ≤ 0

y = - 1 - x 2 3 3 ,   x ≥ 0

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