Enunciado

Use o Teorema 0.2.3 para determinar se os gráficos têm simetrias em relação ao eixo x, ao eixo y ou à origem.

(a) x = 5 y 2 + 9

(b) x 2 - 2 y 2 = 3

(c) x y = 5

Passo 1

Vamos ver, primeiro, o que diz o teorema 0.2.3:

- Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo y se, e somente se, substituindo-se x por −x em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.

- Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo x se, e somente se, substituindo-se y por −y em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.

- Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, substituindo-se x por −x e y por −y em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.

Então, vamos usar isso para responder ao problema. Só fazer as substituições do teorema e ver em qual dos 3 casos a função se encaixa.

Passo 2

(a) x = 5 y 2 + 9

Primeiro, vamos substituir x por - x :

- x = 5 y 2 + 9

Podemos multiplicar tudo por - 1 :

x = - 5 y 2 - 9

Como não achamos duas equações iguais, não temos simetria em relação a y .

Passo 3

Agora, substituindo y por - y :

x = 5 - y 2 + 9

Como - y 2 = y 2 :

x = 5 y 2 + 9

Opa, achamos a mesmíssima equação!! Logo, temos uma simetria em relação ao x , nesse caso.

Passo 4

Por último, vamos substituir x → - x ; y → - y :

- x = 5 - y 2 + 9

Podemos multiplicar tudo por - 1 :

x = - 5 - y 2 - 9

Como - y 2 = y 2 :

x = - 5 y 2 - 9

Como não achamos duas equações iguais, não temos simetria em relação à origem.

Passo 5

(b) x 2 - 2 y 2 = 3

Primeiro, vamos substituir x por - x :

- x 2 - 2 y 2 = 3

Como - x 2 = x 2 :

x 2 - 2 y 2 = 3

Como achamos duas equações iguais, temos simetria em relação a y .

Passo 6

Agora, substituindo y por - y :

x 2 - 2 - y 2 = 3

Como - y 2 = y 2 :

x 2 - 2 y 2 = 3

Opa, achamos a mesmíssima equação!! Logo, temos uma simetria em relação ao x .

Passo 7

Por último, vamos substituir x → - x ; y → - y :

- x 2 - 2 - y 2 = 3

Como - x 2 = x 2 e Como - y 2 = y 2 :

x 2 - 2 y 2 = 3

Como achamos duas equações iguais, temos, também, simetria em relação à origem.

Passo 8

(c) x y = 5

Primeiro, vamos substituir x por - x :

- x y = 5

Como não achamos duas equações iguais, não temos simetria em relação a y .

Passo 9

Agora, substituindo y por - y :

x ( - y ) = 5

- x y = 5

Como não achamos duas equações iguais, não temos simetria em relação a x .

Passo 10

Por último, vamos substituir x → - x ; y → - y :

- x - y = 5

x y = 5

Como achamos duas equações iguais, temos simetria em relação à origem.

Resposta

(a) Simetria com x .

(b) Todas as 3 simetrias.

(c) Simetria com a origem.

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