Enunciado

(a) O gráfico de uma função posição de um carro é mostrado onde s é medido em pés e t , em segundos. Use-o para fazer o gráfico da velocidade e da aceleração do carro. Qual é a aceleração em t = 10 segundos?

(b) Use a curva da aceleração da parte (a) para estimar o arranco em t = 10   segundos. Quais são as unidades para o arranco?

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dado o gráfico da função posição s de um carro e nosso objetivo é determinar o gráfico da velocidade v , da aceleração a e estimar a aceleração e o arranco do carro em t = 10 s .

Parece complicado?

O gráfico que foi dado da posição s é

Dos princípios físicos, sabemos que a velocidade v é dada por

v = d s d t

E a aceleração a é dada por

a = d v d t

Já o arranco, que vamos chamar de k , é dado por

k = d a d t

Para esboçar os gráficos, temos que lembrar que a derivada de uma função pode ser interpretada como as inclinações das retas tangentes da função em cada ponto do seu domínio.

Veja só!

Passo 2

Vamos começar fazendo o gráfico para representar a velocidade e a aceleração.

Começando pela função v , vemos que a função s inicialmente possui uma inclinação positiva e crescente enquanto a partir de t = 10 podemos ver que sua inclinação continua positiva, porém menos crescente.

Assim podemos esboçar o gráfico da velocidade como

Agora esboçando o gráfico da aceleração a , vamos fazer a mesma análise, mas agora para v ...

Inicialmente a função v é crescente e quando chega em t = 10 , a função possui inclinação 0 já que a reta tangente a esse ponto é horizontal. A partir daí vamos que a função v começa a decrescer e permanece constante a partir de certo ponto.

Assim, a função aceleração a pode ser esboçada como

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para a letra (b), ao desenhar uma linha tangente em t   =   10 no gráfico da aceleração, esta parece diminuir em 10   f t /   s durante um período de 20 s , como podemos observar.

Então, em t = 10 s , o arranco é aproximadamente - 0,5   f t / s 3 .

Se k = d a d t , a possui unidade f t / s 2 e como t é em s , temos

k = f t s 2 s = f t s 3

Sacou? O que achou? Responde Aí!

Resposta

  1. a aceleração é 0 em t   =   10 .
  2. o arranco é aproximadamente - 10 20 = - 0,5   f t / s 3 .
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16. Sejam f x e g x funções deriváveis até 3ª ordem. Mostrar que:a) f g ' ' = g f ' ' + 2 f g ' + f g ' ' b) f g ' ' ' = g f ' ' ' + 2 f ' g ' + f g ' '
13. Ache a derivada de ordem 100 das funções:a) y = sen ⁡ x b) y = cos ⁡ x
10. y = tg x ; n = 3
9. y = sen a x ; n = 7
10. y = - 2 cos (x)/(2) ; n = 5