Enunciado

O gráfico de f é mostrado.

(a) Explique por que a série

1,6 - 0,8 x - 1 + 0,4 x - 1 2 - 0,1 x - 1 3 + …

não é a série de Taylor de f centrada em 1 .

(b) Explique por que a série

2,8 + 0,5 x - 2 + 1,5 x - 2 2 - 0,1 x - 2 3 + …

não é a série de Taylor de f centrada em 2 .

Passo 1

(a) No ponto x = 1 podemos observar que a função f ( x ) está crescente, portanto sua primeira derivada deve ser positiva. Como temos um formato de série de Taylor, o coeficiente que acompanha uma potencia de ( x - 1 ) , carrega o sinal da n -ésima derivada, já que no formato de Taylor

∑ n = 0 ∞ f n 1 n ! x - 1 n

podemos ver que o fatorial é sempre positivo então se olharmos para a série que foi dada, no segundo termo - 0,8 ( x - 1 ) , temos um termo negativo, o que implica na primeira derivada negativa, o que não condiz com a função do gráfico.

Passo 2

(b) Para a segunda série dada, temos que o segundo termo + 1,5 x - 2 2 , temos um sinal positivo, que para a segunda derivada representa uma concavidade positiva, mas no gráfico podemos observar que temos uma concavidade negativa, então a série não condiz com a função do gráfico.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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