Enunciado

Use a série de potências para tg - 1 ⁡ x para demonstrar a seguinte expressão para π como a soma de uma série infinita

π = 2 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 3 n

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos lá!

Para demonstrar a expressão para π como a soma de uma série infinita utilizando a série de potências para tg - 1 ⁡ x , precisamos encontrar um valor de x que nos forneça um múltiplo fracionário de π .

Vamos pensar em um ângulo α que esteja na imagem de tg - 1 ⁡ x , ou seja, no intervalo - π 2 , π 2 . Podemos escolher, por exemplo, α = π 6 . Assim, teremos:

tg - 1 ⁡ ( tg ⁡ α ) = α = π 6

E sabemos que

tg ⁡ π 6 = 3 3 = 1 3

Passo 2

Para começar, definimos a estratégia de usar a série de potências para tg - 1 ⁡ ( x ) substituindo x = tg ⁡ π 6 . Dessa forma, temos:

tg - 1 ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Substituindo x = tg ⁡ π 6 = 1 3 , obtemos:

tg - 1 ⁡ tg ⁡ π 6 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 3 2 n + 1 2 n + 1

π 6 = 1 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 3 1 / 2 2 n 2 n + 1

Podemos racionalizar a raiz que está fora da série, mas a que está dentro não nos ajuda, na verdade, a raiz vai cancelar com o 2 na potência dos parênteses

π = 6 3 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 n + 1 3 n

π = 2 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 3 n

Essa expressão demonstra π\piπ como a soma de uma série infinita utilizando a série de potências para tg - 1 ⁡ ( x ) .

Resposta

π = 2 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 3 n

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