Enunciado

Use a série de potências para tg - 1 ⁡ x para demonstrar a seguinte expressão para π como a soma de uma série infinita

π = 2 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 3 n

Passo 1

Para achar π como uma série infinita através da série de arctg ⁡ x , precisamos saber, qual valor de x que nos dê um múltiplo fracionário de π , ou seja, x = tg ⁡ α já que se aplicarmos

arctg ⁡ x = arctg ⁡ ( tg ⁡ α ) = α

Precisamos de um ângulo α que esteja na imagem da tg - 1 ⁡ x que é - π 2 , π 2 , então vamos pensar em um valor nesse intervalo como por exemplo α = π / 6 , então

arctg ⁡ ( tg ⁡ α ) = α = π 6

E temos que

tg ⁡ π 6 = 3 3 = 1 3

Passo 2

Então, usando x = tg ⁡ π 6 = 1 3 , vamos substituir na série da tg - 1 ⁡ x

tg - 1 ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

tg - 1 ⁡ tg ⁡ π 6 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 3 2 n + 1 2 n + 1

π 6 = 1 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 3 1 / 2 2 n 2 n + 1

Podemos racionalizar a raiz que está fora da série, mas a que está dentro não nos ajuda, na verdade, a raiz vai cancelar com o 2 na potencia do parênteses

π = 6 3 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 n + 1 3 n

π = 2 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 3 n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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