Enunciado

70- Em cada item, calcule, f ´ ,   f ´ ´ ,   f ´ ´ ´ e, então, estabeleça uma fórmula para f ( n ) .

a) f x = 1 x

b) f x = 1 x 2

[Sugestão: A expressão - 1 n     tem valor 1 se n for par e - 1 se n for ímpar. Use essa expressão em sua resposta.]

Passo 1

a)Galerinha, podemos escrever f ( x ) dessa maneira:

f x = x - 1

Certo ?

Agora, temos que nos lembrar que:

d d x x r = r   x r - 1

Assim,

f ´ x = - x - 2

f ´ ´ x = 2   x - 3

Para calcularmos a derivada de terceira ordem, temos que nos lembrar que:

d d x c   f x = c d d x [ f x ]

Dessa forma,

f ´ ´ ´ x = - 6 x - 4

Pra finalizar, vamos deduzir uma fórmula para f n :

f n = n 1 × n 2 × n 3 … n n × x - 1 - n , se n   f o r   p a r

f n = - n 1 × n 2 × n 3 … n n × x - 1 - n , se n f o r   í m p a r

Passo 2

b)Podemos escrever f ( x ) dessa maneira:

f ´ x = x - 2

Certo ?

Agora, temos que nos lembrar que:

d d x x r = r   x r - 1

Assim,

f ´ x = - 2 x - 3

Para calcularmos a derivada de segunda e terceira ordem, temos que nos lembrar que:

d d x c   f x = c d d x [ f x

Dessa forma,

f ´ ´ x = 6   x - 4

f ´ ´ ´ x = - 24 x - 5

Pra finalizar, vamos deduzir uma fórmula para f n :

f n = n 1 + 1 × ( n 2 + 1 ) × ( n 3 + 1 ) … ( n n + 1 ) × x - 2 - n , se n   f o r   í m p a r

f n = - n 1 × n 2 × n 3 … n n × x - 1 - n , se n   f o r   p a r

Resposta

a) f ´ x = - x - 2

f ´ ´ x = 2   x - 3

f ´ ´ ´ x = - 6 x - 4

f n = n 1 × n 2 × n 3 … n n × x - 1 - n , se n   f o r   p a r

f n = - n 1 × n 2 × n 3 … n n × x - 1 - n , se n f o r   í m p a r

b) f ´ x = - 2 x - 3

f ´ ´ x = 6   x - 4

f ´ ´ ´ x = - 24 x - 5

f n = n 1 + 1 × ( n 2 + 1 ) × ( n 3 + 1 ) … ( n n + 1 ) × x - 2 - n , se n   f o r   í m p a r

f n = - n 1 × n 2 × n 3 … n n × x - 1 - n , se n   f o r   p a r

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