Enunciado

74. a)Prove que se f ’ ’ ( x ) existir em cada x   ∈   ( a , b ), então f   e   f ’ serão contínuas em ( a , b )

b) O que se pode afirmar quanto a continuidade de f e suas derivadas se f ( n ) ( x )   existir para cada x   e m   ( a , b )

Passo 1

a)Para essa demonstração usaremos a redução ao absurdo.

Suponha que f ’ ’ ( x ) exista em cada x   ∈   ( a , b ) e suponha também que f   e   f ’ não são contínuas em ( a , b ) .

Mas se f não é contínua em ( a , b ) , então ela não pode ser derivável em (a,b), pois se f é derivável, então ela é contínua.

Isso implica que f ’   não existe em ( a , b ) ,   o que é absurdo pois se f ’ não existe em ( a , b ) , então ela também não é contínua, portanto f ’ ’   também não pode existir para todo x   ∈   ( a , b ) , o que é absurdo, pois em nossa hipótese nós admitimos que f ’ ’ existe para todo x   ∈   ( a , b )

Passo 2

b)Utilizando-se do mesmo argumento do exercício a), temos que para uma derivada de ordem n existe, todas as derivadas de ordem menor que n também devem existir em ( a , b ) , portanto devem ser contínuas em ( a , b ) .

Resposta

Demonstração acima.

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