y = (1 + x)^(e^(-x))

Passo 1

Para resolver essa derivada, vamos utilizar a regra da cadeia e a regra para derivada de expoentes, mas vamos aos poucos, nossa função é:

y = 1 + x   e - x  

Pela regra da derivada de expoentes, ela pode ser reescrita como:

y = f x g x

E sua derivada seria dada por:

d y d x = f x g x . [ g x l n f x ] '

Onde pelo nosso problema, temos que

g x = e - x

f x = 1 + x

Substituindo nossa f x e nossa g ( x ) ...

d y d x = x + 1 e - x . [ e - x l n x + 1 ] '

Agora, só falta sabermos derivar esse cara aí da esquerda!

Passo 2

Vamos pegar o termo com a derivada e usar a regra do produto:

d d x e - x ln ⁡ 1 + x = e - x d d x ln ⁡ 1 + x   + ln ⁡ 1 + x d d x   e - x  

d d x e - x ln ⁡ 1 + x = e - x 1 1 + x - ln ⁡ 1 + x e - x  

Portante temos:

d y d x = 1 + x e - x e - x 1 1 + x - ln ⁡ 1 + x e - x  

Resposta

d y d x = 1 + x e - x e - x 1 1 + x - ln ⁡ 1 + x e - x  

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