c) ∫ 1 2 x x 2 - 1 5   d x  

Passo 1

Nessas situações não tem magica, é motivação! E essa é bem comum (substituição de variável)

Vamos pegar x 2 - 1 que é a mais complexa e chamar de u

u =   x 2 - 1   ( * )

Derivando,

d u =   2 x   d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 1 → u = 1 2 - 1 = 0 x = 2 → u = 2 2 - 1 = 3

Repara que quando derivamos apareceu d u =   2 x   d x que é basicamente d u 2 = x   d x .

Nossa integral era:

∫ 1 2 x x 2 - 1 5   d x   =     ∫ 1 2 x 2 - 1 5 x   d x

E vai ficar assim ó

∫ 0 3 u 5 d u 2 = 1 2   ⋅ ∫ 0 3 u 5   d u  

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 3

Agora vamos terminar!

1 2 ⋅ ∫ 0 3 u 5   d u   = 1 2 ⋅ u 6 6 ​ 3 4 = 3 6 12 - 0 6 12 = 243 4

Resposta

243 4

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